3. Zadatak

Neka je prvi član aritmetičkog niza $a$ i neka je $d$ njegova razlika. Tada je opći član tog niza jednak

$$a_n=a+(n-1)d.$$

Za geometrijski niz $a_2$, $a_5$, $a_9$ vrijedi redom

$$(a+4d)^2=(a+d)(a+8d)$$ $$a^2+8ad+16d^2=a^2+9ad+8d^2$$ $$ad=8d^2.$$

Kako je prema uvjetima zadatka $d\neq0$ slijedi da je $a=8d$.

Tada je opći član zadanog niza jednak

$$a_n=8d+(n-1)d=(7+n)d. \tag{$\star$}$$

Za geometrijski niz $a_3$, $a_k$, $a_l$ vrijedi $a_k^2=a_3\cdot a_l$, $3<k<l$ pa primijenimo li $(\star)$ dobit ćemo

$$(7+k)^2d^2=10d(7+l)d$$ $$(7+k)^2=10(7+l).$$

Zaključujemo da $7+k$ mora biti višekratnik od $10$.

Za $k=3$ dolazimo do suprotnosti s uvjetom $3<k<l$.

Za $k=13$ slijedi $l=33$ što zadovoljava uvjet zadatka. Stoga su traženi brojevi $k=13$, $l=33$.