1. Zadatak

Neka je $z=x+yi$. Tada je

$$z^2=x^2-y^2+2xyi$$

i

$$z^2+1=x^2-y^2+1+2xyi.$$

Tada nejednakost

$$\operatorname{Im}(z^2+1)\geq2(\operatorname{Im}z)^2$$

prelazi u $2xy\geq2y^2$, odnosno $y^2-xy\leq0$.

Iz $y(y-x)\leq0$ slijede dvije mogućnosti

$$\begin{cases} y\leq0\\ y\geq x \end{cases} \qquad\text{ili}\qquad \begin{cases} y\geq0\\ y\leq x, \end{cases} \tag{$\star$}$$

što je u koordinatnom sustavu dio ravnine između osi $x$ i pravca $y=x$.

Druga nejednakost $|z-i|<3$ za $z=x+yi$ prelazi u nejednadžbu

$$x^2+(y-1)^2<9,$$

što je u koordinatnom sustavu otvoreni krug sa središtem $S(0,1)$ i polumjerom $r=3$.

Traženi skup točaka prikazan je na sljedećoj slici.

Za točke $(x,y)$ s cjelobrojnim koordinatama koje su unutar danog kruga vrijedi $-3<x<3$, $-2<y<4$.

Sa skice i direktnom provjerom uvjeta iz $(\star)$ dobivamo $10$ točaka s cjelobrojnim koordinatama koje pripadaju skiciranom skupu.

Dakle, traženih kompleksnih brojeva ima $10$.