5. Zadatak

Ako desnu stranu zadane jednadžbe raspišemo po binomnoj formuli dobit ćemo

$$x^7+1=x^7+7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x+1.$$

Nakon toga ćemo zapisati jednadžbu u pogodnijem obliku kako slijedi:

$$7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x=0\qquad /:7$$ $$x^6+3x^5+5x^4+5x^3+3x^2+x=0$$ $$x\left(x^5+3x^4+5x^3+5x^2+3x+1\right)=0.$$

Zaključujemo da je jedno rješenje jednadžbe $x_1=0$.

Preostala ćemo rješenja dobiti rješavanjem simetrične jednadžbe $5.$ stupnja

$$x^5+3x^4+5x^3+5x^2+3x+1=0.$$

Ona se može napisati u obliku

$$(x^5+x^4+2x^4)+(2x^3+3x^3+3x^2)+(2x^2+3x+1)=0$$

iz čega slijedi da je

$$x^4(x+1)+2x^3(x+1)+3x^2(x+1)+(2x+1)(x+1)=0,$$

odnosno

$$(x+1)(x^4+2x^3+3x^2+2x+1)=0.$$

Tada je $x+1=0$ ili

$$x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0.$$

Iz $x+1=0$ slijedi drugo rješenje $x_2=-1$.

Preostaje još riješiti simetričnu jednadžbu četvrtog stupnja

$$x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0.$$

Faktorizirajmo izraz s lijeve strane:

$$\begin{aligned} x^4+2x^3+3x^2+2x+1 &=(x^4+x^2+1)+(2x^3+2x^2+2x)\\ &=(x^4+2x^2+1-x^2)+2x(x^2+x+1)\\ &=((x^2+1)^2-x^2)+2x(x^2+x+1)\\ &=(x^2-x+1)(x^2+x+1)+2x(x^2+x+1)\\ &=(x^2+x+1)(x^2-x+1+2x)\\ &=(x^2+x+1)^2. \end{aligned}$$

Zaključujemo da su preostala rješenja jednaka

$$x_{3,4}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i, \qquad x_{5,6}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i.$$