6. Zadatak

U jednakokračan trokut osnovice duljine $14\ \text{cm}$ i krakova duljine $25\ \text{cm}$ upisan je krug. Iznad njega upisan je drugi krug koji dodiruje oba kraka i prvi krug, iznad ovoga upisan je treći krug i tako dalje istim postupkom nastavljamo upisivati krugove. Ako sve upisane krugove obojimo nekom bojom, koji će dio površine trokuta ostati neobojan?

Rješenje

Prvo rješenje.

Službena skica prvog rješenja

Po Pitagorinom poučku izračunamo duljinu visine na osnovicu:

v=|CP|=\sqrt{25^2-7^2}=24\ \text{cm}.

Polumjer najveće upisane kružnice izračunamo iz $P=r_1s$ :

r_1=\frac{14\cdot24}{25+25+14}=\frac{21}{4}.

Promotrimo slične trokute $ABC$ , $A_1B_1C$ , $A_2B_2C,\ldots$ . Koeficijent sličnosti trokuta izračunamo iz omjera visina:

k=\frac{24-2r_1}{24}=\frac9{16}.

Analogno vrijedi i za ostale trokute. Ako su trokuti slični s koeficijentom sličnosti $k$ , onda su površine upisanih krugova proporcionalne s $k^2=\dfrac{81}{256}$ .

Računamo zbroj površina svih krugova:

P=P_1+k^2P_1+k^4P_1+\cdots=\frac{P_1}{1-k^2} =\frac{\frac{441}{16}}{1-\frac{81}{256}}\pi=\frac{1008}{25}\pi.

Neobojana površina je

\frac{14\cdot24}{2}-\frac{1008}{25}\pi =168-\frac{1008}{25}\pi\ \text{cm}^2.

Drugo rješenje.

Službena skica drugog rješenja

Po Pitagorinom poučku izračunamo duljinu visine na osnovicu:

v=|CP|=\sqrt{25^2-7^2}=24\ \text{cm}.

Trokuti $APC$ , $S_1D_1C$ , $S_2D_2C$ , $S_3D_3C,\ldots$ međusobno su slični (svi kutovi su im sukladni). Označimo $|D_1S_1|=|PS_1|=r_1$ . Iz sličnosti trokuta $APC$ i $S_1D_1C$ slijedi

\frac{r_1}{24-r_1}=\frac7{25}, \qquad r_1=\frac{21}{4}\ \text{cm}.

Označimo $|D_2S_2|=r_2$ . Iz sličnih trokuta $APC$ i $S_2D_2C$ slijedi

\frac{r_2}{24-2r_1-r_2}=\frac7{25}, \qquad r_2=\frac{189}{64}\ \text{cm}.

Analogno dobivamo i polumjer treće kružnice $r_3=\dfrac{1701}{1024}\ \text{cm}$ . Površine krugova su $r_1^2\pi,r_2^2\pi,r_3^2\pi,\ldots$ i čine geometrijski niz s kvocijentom

q=\frac{r_2^2}{r_1^2}=\frac{r_3^2}{r_2^2}.

Provjerimo da su ti kvocijenti jednaki:

\left(\frac{189}{64}\right)^2\Big/\left(\frac{21}{4}\right)^2 =\left(\frac9{16}\right)^2, \qquad \left(\frac{1701}{1024}\right)^2\Big/\left(\frac{189}{64}\right)^2 =\left(\frac9{16}\right)^2.

Izračunajmo razliku površine trokuta i površine svih krugova:

\begin{aligned} P&=\frac{14\cdot24}{2}-\frac{\left(\frac{21}{4}\right)^2\pi}{1-\left(\frac9{16}\right)^2}\\ &=168-\frac{441\pi}{16\left(1-\frac{81}{256}\right)} =168-\frac{1008}{25}\pi\ \text{cm}^2. \end{aligned}