3. Zadatak

Dani izrazi moraju zadovoljavati sljedeće uvjete:

$$x>0,\qquad a>0,\quad a\ne1,\qquad 1-\log_a x\ge0.$$

Dakle, za rješenje treba vrijediti

$$0<x\le a,\quad\text{za }a>1,$$

odnosno

$$x\ge a,\quad\text{za }0<a<1.\tag{*}$$

Primijenimo svojstvo geometrijskog niza:

$$(2\log_a x)^2=\left(1-\sqrt{1-\log_a x}\right)\left(1+\sqrt{1-\log_a x}\right).$$

Zato je

$$4\log_a^2x=1-(1-\log_a x)=\log_a x.$$

Jedno rješenje je $\log_a x=0$, a to ne može biti član rastućeg geometrijskog niza. Drugo rješenje je

$$\log_a x=\frac14, \qquad x=\sqrt[4]{a}.$$

To zadovoljava uvjet $(*)$ jer

$$0<\sqrt[4]{a}\le a,\quad\text{za }a>1,$$

odnosno

$$\sqrt[4]{a}\ge a,\quad\text{za }0<a<1.$$