7. Zadatak

Prvo rješenje.

Polinom $p(x)$ pišemo u faktoriziranom obliku:

$$\begin{aligned} x^3-3x^2+ax+3&=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\ &=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3. \end{aligned}$$

Po teoremu o jednakosti polinoma slijedi sustav jednadžbi (Vieteove formule)

$$-(x_1+x_2+x_3)=-3, \qquad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=a, \qquad -x_1x_2x_3=3.$$

Prema uvjetu zadatka $x_1,x_2,x_3$ su članovi rastućeg aritmetičkog niza te pišemo

$$x_1=t-d,\qquad x_2=t,\qquad x_3=t+d,\qquad t\in\mathbb R.$$

Iz prve jednadžbe sustava slijedi

$$t-d+t+t+d=3\quad\Longrightarrow\quad t=1.$$

Nadalje iz druge jednadžbe sustava dobivamo

$$\begin{aligned} a&=(1-d)\cdot1+(1-d)(1+d)+1\cdot(1+d)\\ &=3-d^2. \end{aligned}$$

Iz treće jednadžbe sustava slijedi

$$(1-d)\cdot1\cdot(1+d)=-3,$$

pa je $1-d^2=-3$, odnosno $d^2=4$. Kako je niz rastući, $d>0$, pa slijedi $d=2$.

Koeficijent $a$ jednak je

$$a=3-2^2=-1,$$

a nultočke zadanog polinoma su $-1,1,3$.

Drugo rješenje.

Ako su $x_1,x_2,x_3$ tri člana aritmetičkog niza možemo ih označiti s $t-d,t,t+d$. Tada je $t$ rješenje sustava jednadžbi

$$\begin{aligned} (t-d)^3-3(t-d)^2+a(t-d)+3&=0,\\ t^3-3t^2+at+3&=0,\\ (t+d)^3-3(t+d)^2+a(t+d)+3&=0. \end{aligned}$$

Nakon sređivanja imamo sljedeće tri jednadžbe:

$$\begin{aligned} t^3-3t^2d+3td^2-d^3-3t^2+6td-3d^2+at-ad+3&=0,\\ t^3-3t^2+at+3&=0,\\ t^3+3t^2d+3td^2+d^3-3t^2-6td-3d^2+at+ad+3&=0. \end{aligned}$$

Oduzimanjem prve i treće od prethodnih jednadžbi dobit ćemo

$$6t^2d+2d^3-12td+2ad=0,$$

a nakon dijeljenja s $2d$ ($d>0$ jer je niz rastući)

$$3t^2+d^2-6t+a=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-3t^2-d^2+6t.\tag{1}$$

Oduzimanjem druge i treće jednadžbe dobit ćemo

$$3t^2d+3td^2+d^3-6td-3d^2+ad=0,$$

pa

$$a=-3t^2-3td-d^2+6t+3d.\tag{2}$$

Iz (1) i (2) dobivamo

$$-3t^2-3td-d^2+6t+3d=-3t^2-d^2+6t,$$

odakle je $3td-3d=0$, pa je $t=1$ (zbog $d>0$).

Iz druge jednadžbe početnog sustava slijedi

$$1-3+a+3=0\quad\Longrightarrow\quad a=-1.$$

Razliku $d$ možemo primjerice izračunati iz (1):

$$-1=-3-d^2+6, \qquad d^2=4, \qquad d=2.$$

Nultočke polinoma su $-1,1,3$.