4. Zadatak

Prvo rješenje.

Jednadžbu ćemo najprije preurediti u zgodniji oblik. Supstitucijom $x+4=y$ dobivamo redom $$\begin{aligned} (y-3)(y-1)(y+1)(y+3)+15&=0\\ (y^2-9)(y^2-1)+15&=0\\ y^4-10y^2+24&=0. \end{aligned}$$ Odavde slijedi $$y^2=4\quad\text{ili}\quad y^2=6$$ $$y_{1,2}=\pm2\quad\text{ili}\quad y_{3,4}=\pm\sqrt6,$$ odnosno $x_1=-2$, $x_2=-6$, $x_3=-4+\sqrt6$, $x_4=-4-\sqrt6$.

Drugo rješenje.

Jednadžbu ćemo najprije preurediti: $$\begin{aligned} 0&=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+15\\ &=(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+15\\ &=(x^2+8x+7)(x^2+8x+7+8)+15\\ &\qquad[u=x^2+8x+7]\\ &=u(u+8)+15\\ &=u^2+8u+15=(u+3)(u+5)\\ &=(x^2+8x+10)(x^2+8x+12)\\ &=(x+4+\sqrt6)(x+4-\sqrt6)(x+2)(x+6). \end{aligned}$$ Rješenja dane jednadžbe su: $x_1=-4-\sqrt6$, $x_2=-4+\sqrt6$, $x_3=-2$, $x_4=-6$.