5. Zadatak

Svaki se prirodni broj može zapisati kao umnožak potencija prostih faktora. Budući da je moćan broj djeljiv s kvadratom svakog svojeg prostog faktora, svi prosti faktori moćnoga broja imaju eksponent veći ili jednak $2$.

Razdvojimo na početku proste faktore s parnim eksponentom i one s neparnim. Neka je $m$ faktora s parnim i $n$ faktora s neparnim eksponentom ($m,n\geq0$).

Svi su parni eksponenti oblika $2k$, a svi neparni oblika $2l+3$. Tada se svaka potencija prostog broja $p$ s parnim eksponentom može napisati kao kvadrat $(p^k)^2$, a svaki se prosti faktor $q$ s neparnim eksponentom može napisati kao $q^{2l+3}=(q^l)^2\cdot q^3$, $l\geq0$.

Umnožak svih $m$ prostih faktora s parnim eksponentom možemo pisati kao

$$\left(p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\ldots\cdot p_m^{k_m}\right)^2,$$

a umnožak svih $n$ prostih faktora s neparnim eksponentom kao

$$\left(q_1^{l_1}\cdot q_2^{l_2}\cdot\ldots\cdot q_n^{l_n}\right)^2 \left(q_1\cdot q_2\cdot\ldots\cdot q_n\right)^3.$$

Tada je moćni broj $x$ jednak

$$\begin{aligned} x={}&\left(p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\ldots\cdot p_m^{k_m}\right)^2 \cdot\left(q_1^{l_1}\cdot q_2^{l_2}\cdot\ldots\cdot q_n^{l_n}\right)^2 \left(q_1\cdot q_2\cdot\ldots\cdot q_n\right)^3\\ ={}&\left(p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\ldots\cdot p_m^{k_m}\cdot q_1^{l_1}\cdot q_2^{l_2}\cdot\ldots\cdot q_n^{l_n}\right)^2 \cdot\left(q_1\cdot q_2\cdot\ldots\cdot q_n\right)^3\\ ={}&a^2b^3,\qquad\text{za }m>0,n>0. \end{aligned}$$

U slučaju da $x$ nema prostih faktora s parnim eksponentom ($m=0$), broj $a=q_1^{l_1}\cdot q_2^{l_2}\cdot\ldots\cdot q_n^{l_n}$, a broj $b$ ostaje isti, odnosno $b=q_1\cdot q_2\cdot\ldots\cdot q_n$.

U slučaju da $x$ nema faktora s neparnim eksponentom ($n=0$) broj $a=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\ldots\cdot p_m^{k_m}$, a broj $b=1$.