4. Zadatak

Zadatak rješavamo grafičkom metodom.

Neka je $f(x)=30(1-\cos(Bx))$. Vrijednosti funkcije $f$ se nalaze u intervalu $[0,60]$.

Temeljni period funkcije $f$ je $\frac{2\pi}{B}$, pomak po osi ordinata iznosi $30$, $f(0)=0$, graf je simetričan s obzirom na os ordinata (zbog parnosti funkcije kosinus).

Minimalnu vrijednost $0$ funkcija poprima za $\cos(Bx)=1$, tj. za $x=\frac{2k\pi}{B}$, $k\in\mathbb Z$.

Maksimalnu vrijednost $60$ funkcija $f$ poprima za $\cos(Bx)=-1$, tj. za $x=\frac{(2k+1)\pi}{B}$, $k\in\mathbb Z$. (⋆)

Neka je

$$g(x)=|x-30|+|x+30|= \begin{cases} -2x,&x<-30,\\ 60,&-30\leq x<30,\\ 2x,&30\leq x. \end{cases}$$

Rješenja polazne jednadžbe su apscise zajedničkih točaka grafova funkcija $f$ i $g$.

Uočavamo da zajedničke točke ta dva grafa su one točke kojima je ordinata $60$, tj. rješenja jednadžbe su oni $x\in\mathbb R$ za koje vrijednost funkcije $f$ maksimalna.

Kako su obje funkcije parne, dovoljno je promatrati samo pozitivne realne brojeve $x$.

Da bi jednadžba imala točno $30$ rješenja, njih $15$ mora biti pozitivno, a zbog (⋆) to su brojevi oblika $\frac{\pi}{B},\frac{3\pi}{B},\ldots,\frac{27\pi}{B},\frac{29\pi}{B}$ (prvi za $k=0$, zadnji za $k=14$) i mora vrijediti $\frac{29\pi}{B}\leq30$, a kako je $B$ pozitivan mora biti $B\geq\frac{29\pi}{30}$.

Pošto se traži najmanja vrijednost parametra $B$ zaključujemo $B=\frac{29\pi}{30}$.