1. Zadatak

Zapišimo nejednadžbu u obliku

$$-2\log_5\left(7^{2\sqrt{x^2-2}}-1\right)+\log_5\left(7^{2\sqrt{x^2-2}}+\frac15\right)\geq -1.$$

Neka je $t=7^{2\sqrt{x^2-2}}$, $t>0$, $|x|\geq\sqrt2$.

Tada je $-2\log_5(t-1)+\log_5\left(t+\frac15\right)\geq-1$.

Ova će nejednadžba imati rješenje ako je $t-1>0$ i $t+\frac15>0$, odnosno $t>1$. (♣)

Slijedi da je

$$\begin{aligned} \log_5\frac{t+\frac15}{(t-1)^2}&\geq-1,\\ \frac{5t+1}{5(t-1)^2}&\geq5^{-1},\\ 5t+1&\geq t^2-2t+1,\\ t^2-7t&\leq0. \end{aligned}$$

Rješenje dobivene kvadratne nejednadžbe je interval $[0,7]$, što zajedno s uvjetom (♣) daje $t\in\langle1,7]$. Vraćanjem na nepoznanicu $x$ redom dobivamo

$$\begin{aligned} 1&<7^{2\sqrt{x^2-2}}\leq7,\\ 0&<2\sqrt{x^2-2}\leq1,\\ 0&<\sqrt{x^2-2}\leq\frac12,\\ 0&<x^2-2\leq\frac14,\\ 2&<x^2\leq\frac94,\\ \sqrt2&<|x|\leq\frac32. \end{aligned}$$

Tada je $x\in\left[-\frac32,-\sqrt2\right\rangle\cup\left\langle\sqrt2,\frac32\right]$, pa očito dana nejednadžba nema cjelobrojnih rješenja.