2. Zadatak

Označimo s $v_b$ pravac na kojemu leži visina iz vrha $B$, a s $t_a$ pravac na kojemu leži težišnica iz vrha $A$.

Tada je pravac $AC$ okomit na $v_b$ i prolazi točkom $C$. Vektor normale pravca $AC$ jednak je $\vec n=5\vec i+6\vec j$, pa je njegova jednadžba

$$5(x-4)+6(y+2)=0,$$

odnosno $5x+6y-8=0$.

Vrh $A$ presjek je pravca $AC$ i težišnice $t_a$, odnosno koordinate vrha $A$ su rješenja sustava jednadžbi

$$\begin{cases} 5x+6y-8=0,\\ 7x+3y+5=0. \end{cases}$$

Dakle vrh $A$ ima koordinate $A(-2,3)$.

Neka vrh $B$ ima koordinate $B(x,y)$. Tada su koordinate polovišta $P$ stranice $BC$ jednake

$$x_P=\frac{x+4}{2},\qquad y_P=\frac{y-2}{2}.$$

Polovište $P$ se nalazi na težišnici $t_a$ pa vrijedi

$$7\cdot\frac{x+4}{2}+3\cdot\frac{y-2}{2}+5=0,$$

ili jednostavnije $7x+3y+32=0$.

Budući da točka $B$ pripada i visini $v_b$, njezine koordinate $(x,y)$ osim prethodne jednadžbe, zadovoljavaju i jednadžbu $6x-5y+35=0$.

Dakle rješenje sustava

$$\begin{cases} 6x-5y+35=0,\\ 7x+3y+32=0 \end{cases}$$

jest vrh $B(-5,1)$.