7. Zadatak

Prvo rješenje

Označimo sa $x$ broj kockica duž jednog brida velike kocke i $y$ broj kockica duž jednog brida manje kocke. U tom slučaju velika kocka se sastoji od $x^3$ kockica, a mala kocka se sastoji od $y^3$ kockica. Prema uvjetu zadatka treba vrijediti:

$$x^3-y^3=387,\qquad x,y\in\mathbb N,\quad x>y.$$

Lijevu stranu možemo zapisati u obliku

$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=387.$$

Broj $387$ možemo zapisati u obliku umnoška dva faktora na tri načina:

$$387=1\cdot387=3\cdot129=9\cdot43.$$

Budući da za $x,y\in\mathbb N$, $x>y$ vrijedi $x-y<x^2+xy+y^2$, imamo tri mogućnosti.

U prvom slučaju rješavamo sustav $x-y=1$, $x^2+xy+y^2=387$. Uvrštavanjem $x=y+1$ u drugu jednadžbu dobiva se kvadratna jednadžba

$$3y^2+3y-386=0,$$

koja nema rješenja u $\mathbb N$.

U drugom slučaju rješavamo sustav $x-y=3$, $x^2+xy+y^2=129$. Uvrštavanjem $x=y+3$ u drugu jednadžbu dobiva se kvadratna jednadžba

$$3y^2+9y-120=0,$$

čija su rješenja $y_1=-8$, $y_2=5$.

U trećem slučaju rješavamo sustav $x-y=9$, $x^2+xy+y^2=43$. Uvrštavanjem $x=y+9$ u drugu jednadžbu dobiva se kvadratna jednadžba

$$3y^2+27y+38=0,$$

koja nema rješenja u $\mathbb N$.

Konačno, jedino rješenje koje zadovoljava uvjete je $y=5$ i $x=y+3=8$, pa je ukupno upotrijebljeno

$$x^3+y^3=8^3+5^3=512+125=637$$

kockica.

Napomena: Učenik ne treba rješavati sva tri sustava, ali mora objasniti zašto ne analizira prvu i treću mogućnost. Eliminacija tih slučajeva može se ostvariti na sljedeći način.

Za svaki prirodni broj $n$ vrijedi da je $n^3-n=n(n-1)(n+1)$ višekratnik broja $3$ jer je umnožak tri uzastopna broja.

Stoga je i broj

$$(x^3-x)-(y^3-y)-387=x^3-y^3-(x-y)-387=-(x-y)$$

višekratnik broja $3$.

Slijedi da je $x^2+xy+y^2=(x-y)^2+3xy$ također višekratnik broja $3$.

Napomena: Umjesto korištenja zaključka $x-y<x^2+xy+y^2$, učenik može razmatrati dodatna tri slučaja u kojima $x-y$ iznosi $43$, $129$ ili $387$, te pokazati da u tim slučajevima nema rješenja.

Drugo rješenje

Kao i u prethodnom rješenju, treba riješiti jednadžbu

$$x^3-y^3=387,\qquad x,y\in\mathbb N,\quad x>y.$$

Budući da je $x^3-387=y^3$, mora vrijediti

$$x^3>387>343=7^3\Rightarrow x>7.$$

Direktnim uvrštavanjem dobivamo:

• $x=8\Rightarrow x^3-387=512-387=125=5^3\Rightarrow y=5$,
• $x=9\Rightarrow x^3-387=729-387=342$, što nije kub prirodnog broja,
• $x=10\Rightarrow x^3-387=1000-387=613$, što nije kub prirodnog broja,
• $x=11\Rightarrow x^3-387=1331-387=944$, što nije kub prirodnog broja,
• $x=12\Rightarrow x^3-387=1728-387=1341$, što nije kub prirodnog broja.

Uočimo da je

$$12^3-11^3=1728-1331=397>387,$$

što znači da je za $x>12$ razlika $x^3-y^3$ veća od $387$, tj. ne može biti drugih rješenja.

Jedina mogućnost je $x=8$, $y=5$, pa je ukupno upotrijebljeno

$$x^3+y^3=8^3+5^3=512+125=637$$

kockica.