5. Zadatak

Prvo rješenje

Mogući izbori dviju točaka su:

$$AB,\ AC,\ AD,\ AE,\ AF,\ BC,\ BD,\ BE,\ BF,\ CD,\ CE,\ CF,\ DE,\ DF,\ EF.$$

Ukupno imamo $15$ mogućnosti.

Povoljni izbori (točke koje pripadaju istoj kružnici) su:

$$AB,\ AC,\ AD,\ BC,\ BD,\ CD,\ CE,\ CF,\ DE,\ DF,\ EF.$$

Ukupno imamo $11$ povoljnih mogućnosti.

Tražena vjerojatnost iznosi $\frac{11}{15}$.

Drugo rješenje

Dvije točke od zadanih šest možemo odabrati na $\binom62=15$ načina.

Par točaka ne pripada istoj kružnici samo ako odaberemo jednu od dvije točke koje pripadaju krajnjoj lijevoj kružnici ($A$ ili $B$) i jednu od dvije točke koje pripadaju krajnjoj desnoj kružnici ($E$ ili $F$). Takvih parova ima $2\cdot2=4$.

Vjerojatnost da izabrane točke ne pripadaju istoj kružnici je $\frac4{15}$.

Na kraju, tražena vjerojatnost iznosi

$$1-\frac4{15}=\frac{11}{15}.$$

Treće rješenje

Najprije odaberemo jednu točku; s jednakom vjerojatnošću $\frac16$ to može biti bilo koja od promatranih točaka.

Od preostalih pet točaka biramo drugu točku, ali razlikujemo dva slučaja.

Ako je prva točka jedna od četiri točke koje pripadaju krajnjoj lijevoj ili krajnjoj desnoj kružnici (tj. jedna od točaka $A$, $B$, $E$, $F$) vjerojatnost da druga točka pripada istoj kružnici iznosi $\frac35$.

Ako je prva odabrana točka $C$ ili $D$, druga točka sigurno pripada istoj kružnici, tj. vjerojatnost je $1$.

Tražena vjerojatnost iznosi

$$4\cdot\frac16\cdot\frac35+2\cdot\frac16\cdot1 =\frac25+\frac13 =\frac{11}{15}.$$