3. Zadatak

Budući da vrijedi $\cos2x=2\cos^2x-1$, zadana jednadžba ekvivalentna je jednadžbi

$$\frac14\cdot4^{2\cos^2x}+4^{\cos^2x}=3.$$

Uvedimo supstituciju $t=4^{\cos^2x}$, $t>0$. Dobivamo jednadžbu $t^2+4t-12=0$, čija su rješenja $t_1=-6$ i $t_2=2$.

Budući da je $t>0$, moguće je samo $t=2$, tj. $4^{\cos^2x}=2$. Slijedi $\cos^2x=\frac12$, odnosno

$$\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$

Stoga je

$$x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Pozitivna rješenja dane jednadžbe čine aritmetički niz $\frac\pi4,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4,\ldots$ s razlikom $d=\frac\pi2$.

Zbroj prvih $1000$ pozitivnih članova toga niza iznosi

$$500\left(2\cdot\frac\pi4+999\cdot\frac\pi2\right)=250\,000\pi.$$