2. Zadatak

Prema definiciji binomnih koeficijenata slijedi

$$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}6+(n+1) =\frac{(n+2)(n+1)n}{6}+\frac{(n+1)n(n-1)}6+(n+2).$$

Množenjem jednadžbe sa $6$ i sređivanjem dobivamo

$$n^3-3n^2-10n=0.$$

Rješenja ove jednadžbe su $n=0$, $n=5$ i $n=-2$.

Budući da tražimo prirodne brojeve $n\geq2$, jedino je rješenje $n=5$.

Napomena: Nakon dobivanja jednadžbe $n^3=3n^2+10n$ ili $n^2=3n+10$ moguće je uvrstiti brojeve $n=2,3,4$ i $5$, te zaključiti da za $n\geq5$ niz $a_n=n^3$ brže raste od niza $b_n=3n^2-10n$, pa je $n=5$ jedino rješenje.