4. Zadatak

Treba izračunati s koliko će nula završavati broj

$$1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot\ldots\cdot2014\cdot2015\cdot2016.$$

Nula se dobije umnoškom $2\cdot5$, odnosno ako se množi višekratnik broja 2 s višekratnikom broja 5. Očito je višekratnika broja 5 manje nego višekratnika broja 2.

Tada je broj nula u danom umnošku jednak eksponentu najveće potencije broja 5 kojom je djeljiv dani umnožak.

Treba prebrojiti višekratnike brojeva $5$, $5^2$, $5^3$, $5^4$ koji su manji od 2016.

$$\left\lfloor\frac{2016}{5}\right\rfloor=403,\qquad \left\lfloor\frac{2016}{25}\right\rfloor=80,$$ $$\left\lfloor\frac{2016}{125}\right\rfloor=16,\qquad \left\lfloor\frac{2016}{625}\right\rfloor=3.$$

Dakle, najveća potencija broja 5 koja se javlja u umnošku $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot\ldots\cdot2014\cdot2015\cdot2016$ je

$$5^{403+80+16+3}=5^{502},$$

pa dani umnožak završava s 502 nule.