6. Zadatak

Prvo rješenje.

Nakon pojednostavljivanja danog izraza dobivamo

$$n^3-6n^2+12n-8+n^3+n^3+6n^2+12n+8=3n^3+24n=3n(n^2+8).$$

Treba odrediti prirodne brojeve $n$ za koje je umnožak $n(n^2+8)$ djeljiv sa 6. Imamo nekoliko mogućnosti:

1. Ako je $n$ neparan broj, umnožak $n(n^2+8)$ nije paran pa nije ni djeljiv sa 6.

2. Ako je $n$ paran broj, umnožak $n(n^2+8)$ je djeljiv s 2.

   (a) Ako je uz to $n$ djeljiv s 3, umnožak je djeljiv sa 6.

   (b) Ako $n$ nije djeljiv s 3, onda je $n^2$ oblika $3k+1$, pa je $n^2+8$ djeljivo sa 3. Umnožak $n(n^2+8)$ je djeljiv sa 6.

Zaključujemo da su traženi brojevi svi neparni prirodni brojevi manji od 2016. Takvih brojeva ima 1008.

Drugo rješenje.

Nakon pojednostavljivanja danog izraza dobivamo

$$n^3-6n^2+12n-8+n^3+n^3+6n^2+12n+8=3n^3+24n=3n(n^2+8).$$

Dakle, dani izraz sigurno je djeljiv s 3. Ako je $n=6k$, $k\in\mathbb N$, onda je dani izraz djeljiv s 18.

Treba ispitati preostalih 5 mogućnosti, odnosno za $n=6k+l$, $l\in\{1,2,3,4,5\}$. Neka je $n=6k+l$. Tada je

$$n^2+8=(6k+l)^2+8=36k^2+12kl+l^2+8=6(6k^2+2kl)+l^2+8.$$

Kako je $l^2+8\in\{9,12,17,24,33\}$, dobiveni je izraz djeljiv sa 6 ako je $l=2$ ili $l=4$.

Zaključujemo da je $l\in\{1,3,5\}$. Prema tome, naš broj mora biti oblika $n=6k+1$, $6k+3$, $6k+5$.

Prebrojimo sve takve brojeve manje od 2016. Brojeva oblika $6k+1<2016$, $0\le k<336$, ima 336. Analogno i za brojeve

$$6k+3<2016,\quad 0\le k<336,$$ $$6k+5<2016,\quad 0\le k<336.$$

Ukupno je danih prirodnih brojeva $3\cdot336=1008$.