7. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $m$ broj zadataka koje je riješila Mila, $n$ broj zadataka koje je riješila Nika i $t$ broj zadataka koje je riješila Tina.

Luka treba riješiti sustav

$$m+n+mn=14,\qquad m+t+mt=11,\qquad n+t+nt=19$$

što se može zapisati u obliku

$$m+n+mn+1=15,\qquad m+t+mt+1=12,\qquad n+t+nt+1=20$$

odnosno

$$(m+1)(n+1)=15,\qquad (m+1)(t+1)=12,\qquad (n+1)(t+1)=20.$$

Iz prve dvije jednadžbe dobivamo $n+1=\dfrac54(t+1)$,

a kada to uvrstimo u treću $(t+1)^2=16$.

Dakle $t+1=4$ ili $t+1=-4$

no kako su $m$, $n$ i $t$ prirodni brojevi, $t+1=4$, pa je $t=3$.

Tada iz $(n+1)(t+1)=20$ slijedi $n=4$, a iz $(m+1)(t+1)=12$ je $m=2$.

Drugo rješenje.

Iz dvije jednadžbe sustava

$$m+n+mn=14$$ $$m+t+mt=11$$ $$n+t+nt=19$$

izrazimo nepoznanice, primjerice $n$ i $t$

$$n=\frac{14-m}{m+1},\qquad t=\frac{11-m}{m+1}$$

pa ih uvrstimo u treću jednadžbu

$$\frac{14-m}{m+1}+\frac{11-m}{m+1}+\frac{14-m}{m+1}\cdot\frac{11-m}{m+1}=19.$$

Slijedi niz ekvivalentnih jednadžbi, s nepoznanicom $m$, koje se svode na kvadratnu.

$$\begin{aligned} (25-2m)(m+1)+(14-m)(11-m)&=19(m+1)^2\\ 20m^2+40m-160&=0\\ m^2+2m-8&=0 \end{aligned}$$

Brojevi $m$, $n$ i $t$ su prirodni pa je jedino rješenje ove jednadžbe $m=2$.

Tada je

$$n=\frac{14-m}{m+1}=4\quad\text{i}\quad t=\frac{11-m}{m+1}=3.$$