4. Zadatak

Prvo rješenje.

Uz oznake kao na slici, $\angle BPQ=\angle BAC$ (kutovi s paralelnim kracima) pa je $\triangle ABC\sim\triangle PBQ$.

Tada je

$$45:(45-y)=27:y,$$

odnosno

$$y=\frac{27\cdot45}{27+45}=\frac{135}{8}.$$

Koeficijent sličnosti jednak je $k=\dfrac{y}{27}=\dfrac58$.

Vrijedi $P(\triangle PBQ)=k^2P(\triangle ABC)$.

Površinu trokuta $ABC$ računamo po Heronovoj formuli:

$$s=\frac12(a+b+c)=\frac12(27+36+45)=54$$ $$\begin{aligned} P(\triangle ABC)&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ &=\sqrt{54\cdot27\cdot18\cdot9}=\sqrt{27\cdot2\cdot27\cdot2\cdot9\cdot9}=27\cdot2\cdot9=486, \end{aligned}$$

pa je konačno

$$P(\triangle PBQ)=\left(\frac58\right)^2\cdot486=\frac{6075}{32}.$$

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju uočavamo slične trokute, $\triangle ABC\sim\triangle PBQ$.

Uočimo i da je trokut $ABC$ pravokutni trokut, a onda i trokut $PBQ$.

Vrijedi da je

$$45:(45-y)=27:y,$$

odnosno

$$y=\frac{27\cdot45}{27+45}=\frac{135}{8},$$

i $36:x=27:y$, a odatle je $x=\dfrac{36y}{27}=\dfrac{45}{2}$.

Vrijedi $P(\triangle PBQ)=k^2P(\triangle ABC)$.

Slijedi

$$P(\triangle PBQ)=\frac{xy}{2}=\frac12\cdot\frac{135}{8}\cdot\frac{45}{2}=\frac{6075}{32}.$$