5. Zadatak

Neka je $a$ broj bodova koji su obje ekipe osvojile u prvoj četvrtini. Tada je niz brojeva, odnosno bodova koje su Vukovi osvojili u svakoj četvrtini posebno jednak redom $a,aq,aq^2,aq^3$, gdje je $q$ kvocijent geometrijskog niza i $q>1$ jer je niz rastući.

Niz bodova koji su Medvjedi osvojili u svakoj četvrtini posebno je sljedeći rastući aritmetički niz: $a,a+d,a+2d,a+3d$, $d>0$.

Zbroj geometrijskog niza je ukupan broj bodova koje su na kraju osvojili Vukovi, a zbroj aritmetičkog niza je ukupan broj bodova koje su na kraju osvojili Medvjedi. Tada vrijedi

$$\begin{aligned} a+aq+aq^2+aq^3&\le100,\\ a+a+d+a+2d+a+3d&\le100, \end{aligned}$$

odnosno

$$\begin{aligned} a(1+q+q^2+q^3)&\le100,\\ 4a+6d&\le100,\\ a(1+q+q^2+q^3)&=4a+6d+1.\tag{*} \end{aligned}$$

Iz posljednje jednakosti, promatrajući parnost lijeve i desne strane, zaključujemo da je $a$ neparan broj, a $q$ paran broj. Iz prve nejednakosti zaključujemo da je $q\le4$.

Imamo sljedeće mogućnosti: $q=4$ ili $q=2$.

Ako je $q=4$ vrijedi $85a\le100$, odnosno $a=1$. Iz $(*)$ za $q=4$ i $a=1$ dobivamo $d\notin\mathbb{N}$.

Ako je $q=2$ vrijedi $15a\le100$, odnosno $a\le6$, $a\in\{1,3,5\}$. Sada pomoću $(*)$ provjeravamo koji od brojeva $a\in\{1,3,5\}$ daju cjelobrojno rješenje za $d$.

$$\begin{aligned} 15a&=4a+6d+1,\\ 6d&=11a-1. \end{aligned}$$

Posljednja jednakost ima cjelobrojno rješenje jedino za $a=5,d=9$.

Za te vrijednosti proizlazi da su Vukovi imali sljedeće bodove: $5,10,20,40$, a Medvjedi $5,14,23,32$.

Treba izračunati koliki je ukupan zbroj bodova koji su na poluvremenu ostvarile obje ekipe zajedno, tj. $a+aq+a+a+d=3a+aq+d$.

Ukupan zbroj bodova iznosi $5+10+5+14=34$.