2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $a,b$ stranice danog trokuta i $s$ simetrala kuta između njih. Tada je površina trokuta jednaka

$$P=\frac12ab\cdot\sin\gamma\quad\text{ili}\quad P=\frac12as\cdot\sin\frac\gamma2+\frac12bs\cdot\sin\frac\gamma2=\frac12s\cdot(a+b)\cdot\sin\frac\gamma2.$$

Slijedi:

$$\frac12ab\cdot\sin\gamma=\frac12s\cdot(a+b)\cdot\sin\frac\gamma2.$$ $$\left(2\cdot\sin\frac\gamma2\cdot\cos\frac\gamma2\right)\cdot13\cdot14=\frac{28\sqrt{13}}9\cdot27\cdot\sin\frac\gamma2.$$

Tada je

$$\cos\frac\gamma2=\frac{3\sqrt{13}}{13},\qquad \sin\frac\gamma2=\sqrt{1-\cos^2\frac\gamma2}=\frac{2\sqrt{13}}{13},$$ $$P=\frac12\cdot13\cdot14\cdot2\cdot\frac{3\sqrt{13}}{13}\cdot\frac{2\sqrt{13}}{13}=84\ \text{cm}^2.$$

Drugo rješenje.

Označimo $x=|BD|$, a $y=|DA|$. Tada je $x:y=a:b=13:14$. Možemo pisati $x=13k$, $y=14k$.

Primijenimo poučak o kosinusu na trokute $ACD$ i $BCD$.

$$\begin{aligned} x^2&=a^2+s^2-2\cdot a\cdot s\cdot\cos\frac\gamma2,\\ y^2&=b^2+s^2-2\cdot b\cdot s\cdot\cos\frac\gamma2. \end{aligned}$$

Slijedi:

$$\cos\frac\gamma2=\frac{a^2+s^2-x^2}{2as},\quad\text{odnosno}\quad \frac{a^2+s^2-x^2}{2as}=\frac{b^2+s^2-y^2}{2bs}$$

ili

$$\frac{13^2+\frac{28^2\cdot13}{81}-13^2k^2}{13}=\frac{14^2+\frac{28^2\cdot13}{81}-14^2k^2}{14}.$$ $$k^2=\frac{25}{81},\qquad k=\frac59.$$

Tada je $c=27k=15$ cm. Površinu možemo izračunati Heronovom formulom:

$$s=\frac{13+14+15}{2}=21,\qquad P=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)}=84\ \text{cm}^2.$$