3. Zadatak

Pravac koji prolazi točkom $T$ ima jednadžbu:

$$\begin{aligned} y+1&=k(x-6)\\ y&=kx-(6k+1). \end{aligned}$$

Da bi uopće presjekao $x$-os, $p_1$, $p_2$ i $y$-os ne smije biti paralelan sa zadanim pravcima i koordinatnim osima, niti prolaziti kroz ishodište, tj. mora vrijediti:

$$k\ne\frac14,\quad k\ne9,\quad k\ne0,\quad k\ne-\frac16.$$

Koordinate točaka $A,B,C,D$ određujemo rješavanjem sustava jednadžbi pripadnih pravaca:

$$\begin{aligned} A&\left(\frac{6k+1}{k},0\right),\\ B&\left(\frac{4(6k+1)}{4k-1},\frac{6k+1}{4k-1}\right),\\ C&\left(\frac{6k+1}{k-9},\frac{9(6k+1)}{k-9}\right),\\ D&=(0,-6k-1). \end{aligned}$$

Kako je $|AB|=|CD|$ slijedi

$$\left(\frac{4(6k+1)}{4k-1}-\frac{6k+1}{k}\right)^2+\left(\frac{6k+1}{4k-1}\right)^2=\left(\frac{6k+1}{k-9}\right)^2+\left(\frac{9(6k+1)}{k-9}+(6k+1)\right)^2.$$

Nakon dijeljenja s $(6k+1)^2$ dobivamo

$$\left(\frac4{4k-1}-\frac1k\right)^2+\left(\frac1{4k-1}\right)^2=\left(\frac1{k-9}\right)^2+\left(\frac9{k-9}+1\right)^2.$$

Sređivanjem slijedi

$$\frac{1+k^2}{(4k-1)^2k^2}=\frac{1+k^2}{(k-9)^2},$$

pa je

$$(4k-1)^2k^2=(k-9)^2,$$

odnosno

$$|(4k-1)k|=|k-9|.$$

Imamo sljedeće mogućnosti:

$$4k^2-k=k-9\quad\Rightarrow\quad4k^2-2k+9=0\quad\Rightarrow\quad\text{nema realnih rješenja}.$$

$$4k^2-k=9-k\quad\Rightarrow\quad4k^2=9\quad\Rightarrow\quad k_{1,2}=\pm\frac32.$$

Postoje dva pravca s traženim svojstvom:

$$p'\ldots y=\frac32x-10,\qquad p''\ldots y=-\frac32x+8.$$