6. Zadatak

Logaritmiramo po bazi 2011:

$$x^{\log_{2011}x}\cdot\sqrt{2011}=x^{2011}$$ $$\log_{2011}x\cdot\log_{2011}x+\log_{2011}\sqrt{2011}=\log_{2011}x^{2011}$$ $$\log_{2011}^2x+\frac12=2011\cdot\log_{2011}x$$

Jednadžba ima smisla samo za $x>0$.

Uvedimo zamjenu $\log_{2011}x=a$ i dobivamo

$$a^2-2011a+\frac12=0.$$

Rješenja ove jednadžbe zadovoljavaju Vieteove formule te je:

$$a_1+a_2=2011$$ $$\log_{2011}x=a_1\Longrightarrow x_1=2011^{a_1}$$ $$\log_{2011}x=a_2\Longrightarrow x_2=2011^{a_2}$$

Slijedi da je

$$x_1\cdot x_2=2011^{a_1}\cdot2011^{a_2}=2011^{a_1+a_2}=2011^{2011}.$$