7. Zadatak

Koristeći kosinusov poučak izračunat ćemo duljine stranica $a$ i $b$.

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma$$ $$49=(b+5)^2+b^2-2(b+5)b\cdot\frac12$$ $$b^2+5b-24=0$$ $$b=3\text{ cm},\quad a=8\text{ cm}.$$

Kako je pobočka $CBD$ sukladna bazi i okomita na nju, visina piramide jednaka je visini baze i vrijedi

$$\sin\gamma=\frac vb\Longrightarrow v=\frac{3\sqrt3}{2}\text{ cm}.$$

Površina baze je

$$B=\frac12ab\sin\gamma=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3.$$

Tada je obujam piramide

$$V=\frac{6\sqrt3\cdot\frac{3\sqrt3}{2}}3=9\text{ cm}^3.$$

Površina pobočke $CBD$ jednaka je površini baze. Kako je duljina stranice $b$ manja od duljine stranice $c$, pobočka $ABD$ je veća od pobočke $CAD$ pa ćemo računati njezinu površinu.

Izračunajmo duljinu nepoznatog brida $x$:

$$x=v\sqrt2=\frac{3\sqrt6}{2}\text{ cm}.$$

Duljina visine pobočke $ABD$ iznosi

$$y=\sqrt{c^2-\left(\frac x2\right)^2}=\frac{\sqrt{730}}4$$

i njezina je površina

$$P=\frac{y\cdot x}{2}=\frac12\cdot\frac{\sqrt{730}}4\cdot\frac{3\sqrt6}{2}=\frac3{16}\sqrt{4380}=\frac38\sqrt{1095}\text{ cm}^2.$$