3. Zadatak

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja $z_0=-\sqrt3+i$ je

$$z_0=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right).$$

Tada je

$$z_0^{15}=2^{15}\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right)=2^{15}i.$$

Slijedi $P(z_0)=z_0^{15}-a=0$. Dakle, $a=z_0^{15}=2^{15}i$.

Nultočke polinoma $P$ su svi petnaesti korijeni iz broja $a=2^{15}i=2^{15}\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right)$.

To su brojevi

$$w_k=2\left(\cos\frac{\frac\pi2+2k\pi}{15}+i\sin\frac{\frac\pi2+2k\pi}{15}\right),\quad k=0,1,\dots,14.$$

Najmanji argument ima broj

$$w_0=2\left(\cos\frac\pi{30}+i\sin\frac\pi{30}\right).$$