8. Zadatak

Djelitelji broja $n$ su redom brojevi

$$1,2,2^2,2^3,\dots,2^{p-1},2^p-1,2\cdot(2^p-1),2^2\cdot(2^p-1),\dots,2^{p-1}\cdot(2^p-1).$$

Zbroj njihovih recipročnih vrijednosti je

$$S=1+\frac12+\frac1{2^2}+\dots+\frac1{2^{p-1}}+\frac1{2^p-1}\left(1+\frac12+\frac1{2^2}+\dots+\frac1{2^{p-1}}\right).$$

Uočavamo geometrijski niz od $p$ članova s prvim članom 1 i kvocijentom $\frac12$. Tada je

$$S=\frac{1-(\frac12)^p}{\frac12}\left(1+\frac1{2^p-1}\right) =2(1-2^{-p})\left(\frac{2^p}{2^p-1}\right) =2\left(\frac{2^p-1}{2^p-1}\right)=2.$$