5. Zadatak

Prvo rješenje.

Udaljenost između točaka $x_1$ i $x_2$, odnosno razlika $x_2-x_1$, neće se promijeniti pomicanjem parabole u horizontalnom smjeru. Stoga, bez smanjenja općenitosti, možemo parabolu pomaknuti u smjeru osi $x$ tako da polovište stranice šesterokuta koja se nalazi na osi $x$ bude u ishodištu koordinatnog sustava.

Nova parabola ima jednadžbu oblika $y=ax^2+c$.

Odredimo koordinate dviju točaka na paraboli.

Apscisa točke $A$ jednaka je negativnoj polovini duljine stranice pravilnog šesterokuta, odnosno $x_A=-1$. Ordinata točke $A$ jednaka je negativnoj duljini dijagonale $AE$, odnosno

$$y_A=-|AE|=-2\cdot\frac{2\sqrt3}{2}=-2\sqrt3,$$

tj. $A(-1,-2\sqrt3)$.

Analogno dobijemo i koordinate točke $F$.

$$x_F=-2,\qquad y_F=-\frac{2\sqrt3}{2}=-\sqrt3,$$

tj. $F(-2,-\sqrt3)$.

Uvrstimo li koordinate točaka $A$ i $F$ u jednadžbu parabole, dobit ćemo sustav jednadžbi

$$\begin{aligned} -2\sqrt3&=a+c,\\ -\sqrt3&=4a+c. \end{aligned}$$

Njegovo je rješenje $a=\dfrac{\sqrt3}{3}$, $c=-\dfrac{7\sqrt3}{3}$, odnosno jednadžba parabole je

$$y=\frac{\sqrt3}{3}x^2-\frac{7\sqrt3}{3}.$$

Tada, iz

$$\frac{\sqrt3}{3}x^2-\frac{7\sqrt3}{3}=0,$$

slijedi $x_1=-\sqrt7$, $x_2=\sqrt7$ pa je $x_2-x_1=2\sqrt7$ tražena udaljenost.

Drugo rješenje.

Koristimo oznake kao u prvom rješenju.

Ako učenik ne koristi translatiranu parabolu, već zadanu parabolu s jednadžbom

$$y=a(x-x_0)^2+y_0,$$

tada će točke $A$ i $F$ imati koordinate

$$A(x_0-1,-2\sqrt3),\qquad F(x_0-2,-\sqrt3).$$

Uvrstimo li koordinate točaka $A$ i $F$ u jednadžbu parabole, dobit ćemo sustav jednadžbi

$$\begin{aligned} -2\sqrt3&=a+y_0,\\ -\sqrt3&=4a+y_0. \end{aligned}$$

Njegovo je rješenje $a=\dfrac{\sqrt3}{3}$, $y_0=-\dfrac{7\sqrt3}{3}$.

Uočimo da je tražena udaljenost jednaka $2(x_1-x_0)$.

Tada, ako u jednadžbu parabole uvrstimo koordinate nultočke $(x_1,0)$, dobivamo

$$0=\frac{\sqrt3}{3}(x_1-x_0)^2-\frac{7\sqrt3}{3},$$

odnosno

$$(x_1-x_0)^2=7,$$ $$x_1-x_0=\sqrt7,$$ $$x_2-x_1=2(x_1-x_0)=2\sqrt7.$$