3. Zadatak

Prvo rješenje.

Prema uvjetima zadatka postavljamo jednadžbu

$$a^3-\frac1{a^3}=4\left(a-\frac1a\right).$$

Nakon sređivanja dobivamo $a^6-4a^4+4a^2-1=0$.

Rastavljamo lijevu stranu na faktore, grupiramo prvi i zadnji član te drugi i treći član. Tada je

$$a^6-1-4a^2(a^2-1)=0,$$ $$(a^2-1)(a^4+a^2+1)-4a^2(a^2-1)=0,$$ $$(a^2-1)(a^4-3a^2+1)=0.$$

Kako je $a>1$ to je $a^2-1\neq0$ pa je

$$a^4-3a^2+1=0,$$

odakle je

$$a^2=\frac{3+\sqrt5}{2},$$

odnosno

$$a=\sqrt{\frac{3+\sqrt5}{2}}.$$

Napomena: Vrijedi

$$\frac{3+\sqrt5}{2}=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2$$

pa je $a=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$, ali učenik može ostaviti zapis $a=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt5}{2}}$.

Drugo rješenje.

Obujam novonastalog tijela je

$$V=a^3-\frac1{a^3}.$$

Neka je $x=a-\dfrac1a$. Iz $a>1$ slijedi $x>0$.

Tada je

$$x^3=\left(a-\frac1a\right)^3=a^3-3a+\frac3a-\frac1{a^3}=a^3-\frac1{a^3}-3\left(a-\frac1a\right),$$

a odavde je

$$a^3-\frac1{a^3}=x^3+3x,$$

odnosno

$$V=x^3+3x.$$

Prema uvjetu zadatka je $V=4\left(a-\dfrac1a\right)=4x$. Tada je

$$x^3+3x=4x,$$ $$x^3-x=0,$$ $$x(x-1)(x+1)=0.$$

S obzirom da je $x>0$ slijedi $x=1$. Sada imamo

$$a-\frac1a=1,$$ $$a^2-a-1=0,$$ $$a=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

Zbog $a>1$ zaključujemo da je rješenje $a=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$.