6. Zadatak

Neka je $z=x+iy$, $x,y\in\mathbb R$. Tada je

$$i\cdot(x+iy)^2+2(x-iy)=0,$$ $$i(x^2+2xyi-y^2)+2x-2yi=0,$$ $$ix^2-2xy-iy^2+2x-2yi=0.$$

Izjednačimo li realne i imaginarne dijelove dobit ćemo sustav jednadžbi

$$\begin{aligned} -2xy+2x&=0,\\ x^2-y^2-2y&=0. \end{aligned}$$

Lijevu stranu prve jednadžbe možemo rastaviti na faktore: $-2x(y-1)=0$.

Ako je $x=0$, iz druge jednadžbe slijedi $y=0$ ili $y=-2$.

Za $y=0$ dobivamo rješenje $z_0=0$, a za $y=-2$ rješenje $z_1=-2i$.

Ako je $x\neq0$, slijedi $y=1$, a tada, iz druge jednadžbe, slijedi

$$x=\pm\sqrt3.$$

Konačno, rješenja jednadžbe su $z_0=0$, $z_1=-2i$, $z_2=\sqrt3+i$, $z_3=-\sqrt3+i$.

Izračunajmo zbroj kubova i umnožak triju nenultih rješenja.

$$z_1^3=(-2i)^3=8i,$$ $$z_2^3=3\sqrt3+9i+3\sqrt3i^2+i^3=8i,$$ $$z_3^3=-3\sqrt3+9i-3\sqrt3i^2+i^3=8i.$$

Tada je

$$z_1^3+z_2^3+z_3^3=3\cdot8i=24i,$$ $$z_1z_2z_3=-2i(\sqrt3+i)(-\sqrt3+i)=-2i(-3-1)=8i.$$

Traženi kvocijent je

$$\frac{24i}{8i}=3.$$