7. Zadatak

Prvo rješenje.

Riješimo nejednadžbu $|x-2|<k$, $k\in\mathbb N$.

$$-k<x-2<k\quad\Longleftrightarrow$$ $$2-k<x<2+k\quad\Longleftrightarrow$$ $$x\in\langle2-k,2+k\rangle. \tag{1}$$

Kvadratna nejednadžba $(3-x)^2>3x+1$, odnosno nejednadžba $x^2-9x+8>0$, ima rješenje

$$\langle-\infty,1\rangle\cup\langle8,+\infty\rangle. \tag{2}$$

Presjek skupova rješenja $(1)$ i $(2)$ mora imati $2019$ cjelobrojnih rješenja što znači da interval $[1,8]$ mora biti sadržan u intervalu $(1)$.

Tada je presjek skupova $(1)$ i $(2)$ jednak skupu

$$\langle2-k,1\rangle\cup\langle8,2+k\rangle.$$

U intervalu $\langle2-k,1\rangle$ ima $0-(2-k)=k-2$ cijelih brojeva, a u intervalu $\langle8,2+k\rangle$ ima $(2+k-1)-8=k-7$ cijelih brojeva.

Dakle, rješenje danog sustava nejednadžbi sadrži ukupno $k-2+k-7=2k-9$ cijelih brojeva.

Tada, iz $2k-9=2019$, slijedi $k=1014$.

Drugo rješenje.

Nejednadžba $|x-2|<k$ ima $k-1$ cjelobrojno rješenje veće od $2$ i isto toliko rješenja manjih od $2$.

Uključujući broj $2$, imamo ukupno $2(k-1)+1=2k-1$ rješenja.

Skup rješenja kvadratne nejednadžbe $(3-x)^2>3x+1$, odnosno (nakon sređivanja) nejednadžbe $x^2-9x+8>0$, je skup $\langle-\infty,1\rangle\cup\langle8,+\infty\rangle$.

Tada je skup svih cjelobrojnih rješenja te nejednadžbe skup $\mathbb Z\setminus\{1,2,3,\ldots,8\}$.

Ako sustav nejednadžbi ima $2019$ rješenja, brojevi $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ se nalaze među $2k-1$ rješenja prve nejednadžbe.

Kako ti brojevi nisu rješenja sustava, slijedi da je ukupan broj rješenja sustava nejednadžbi jednak

$$2k-1-8=2k-9.$$

Tada, iz $2k-9=2019$, dobivamo $k=1014$.