1. Zadatak

Dana se jednadžba, nakon kvadriranja i sređivanja, može zapisati u sljedećem obliku:

$$x^2-4xk+4k^2-kx-2k=0,$$ $$x^2-5kx+4k^2-2k=0.$$

Primjenom Vieteovih formula dobivamo

$$x_1+x_2=-\frac ba=5k,\qquad x_1\cdot x_2=\frac ca=4k^2-2k.$$

Prema uvjetu iz zadatka vrijedi $x_1=x_2+1$ pa, nakon uvrštavanja u Vieteovu formulu za zbroj rješenja, slijedi

$$x_2+1+x_2=5k,$$

odnosno

$$x_2=\frac{5k-1}{2},\qquad x_1=\frac{5k+1}{2}.$$

Dobivene vrijednosti uvrstimo u Vieteovu formulu za umnožak rješenja. Tada je

$$\frac{5k-1}{2}\cdot\frac{5k+1}{2}=4k^2-2k,$$

odnosno

$$25k^2-1=16k^2-8k,$$ $$9k^2+8k-1=0.$$

Rješenja ove jednadžbe, brojevi $k_1=-1$ i $k_2=\dfrac19$, su traženi realni brojevi.