6. Zadatak

Tražimo broj za koji vrijedi

$$xyz_{(9)}=zyx_{(11)},$$

gdje su $x,y,z\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ (znamenke u bazi $9$), $x\neq0$, $z\neq0$.

Raspisivanjem dobivamo

$$\begin{aligned} x\cdot9^2+y\cdot9+z&=z\cdot11^2+y\cdot11+x\\ 81x+9y+z&=121z+11y+x\\ 80x-2y-120z&=0\\ y&=40x-60z=20(2x-3z). \end{aligned}$$

Kako je $y$ znamenka, jedina mogućnost je $y=0$.

Dakle $2x-3z=0$, tj. $2x=3z$.

Broj $z$ mora biti paran.

Ispitajmo sve mogućnosti:

iz $z=2$ slijedi $x=3$: $302_{(9)}=203_{(11)}$ $(=245)$

iz $z=4$ slijedi $x=6$: $604_{(9)}=406_{(11)}$ $(=490)$

za $z\geq6$ bilo bi $x\geq9$ pa nema drugih rješenja.