5. Zadatak

Promatrat ćemo osni presjek stošca, odnosno jednakokračan trokut $ABC$ kojemu je osnovica promjer baze stošca, a krak izvodnica stošca. Tada je polumjer kugle upisane u stožac jednak polumjeru kružnice upisane u taj trokut, a polumjer kugle opisane stošcu, jednak je polumjeru kružnice opisane tom trokutu.

Označimo polumjer upisane kružnice s $r_u$, a opisane kružnice s $r_o$, te polumjer baze s $r$.

Duljina izvodnice stošca je

$$|AC|=\sqrt{r^2+(2r)^2}=r\sqrt5.$$

Površina trokuta $ABC$ jednaka je

$$P=\frac12\cdot2r\cdot2r=2r^2,$$

a njegov poluopseg iznosi

$$s=\frac12(2r+2\cdot r\sqrt5)=r(1+\sqrt5).$$

Polumjer trokutu $ABC$ upisane kružnice računamo iz $P=r_u\cdot s$:

$$r_u=\frac{P}{s}=\frac{2r^2}{r(1+\sqrt5)}=\frac{2r}{1+\sqrt5}.$$

Polumjer trokutu $ABC$ opisane kružnice računamo koristeći formulu $P=\frac{abc}{4r_o}$:

$$r_o=\frac{abc}{4P} =\frac{2r\cdot r\sqrt5\cdot r\sqrt5}{4\cdot2r^2} =\frac{10r^3}{8r^2} =\frac54r.$$

Konačno, omjer polumjera stošcu upisane i stošcu opisane kugle je

$$\frac{r_u}{r_o} =\frac{\frac{2r}{1+\sqrt5}}{\frac54r} =\frac{8}{5(1+\sqrt5)} =\frac{2(\sqrt5-1)}{5}.$$

Napomena: Polumjeri upisane i opisane kugle mogu se dobiti i pomoću sličnosti.

Uočimo na prvoj skici da je trokut $ANC$ sličan trokutu $CD_1S_u$. Zato je

$$\frac{r}{r\sqrt5}=\frac{r_u}{2r-r_u}$$

odakle slijedi

$$r_u=\frac{2r}{1+\sqrt5}.$$

Iz pravokutnog trokuta $ANS_o$ na drugoj skici slijedi

$$r_o^2=r^2+(2r-r_o)^2$$

odakle slijedi

$$r_o=\frac54r.$$