3. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je pravac $x-2y=0$ asimptota hiperbole, tada je

$$\frac{b}{a}=\frac12$$

tj. $a=2b$.

Iz $a^2+b^2=e^2$ slijedi

$$a^2+b^2=25,$$

odnosno $4b^2+b^2=25$, pa je

$$b^2=5,\quad a^2=20.$$

Jednadžba hiperbole je

$$\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$$

odnosno $x^2-4y^2=20$.

Kako je obodni kut nad promjerom kružnice pravi kut, točke $T$ možemo dobiti kao sjecišta kružnice $x^2+y^2=25$ (sa središtem u ishodištu, promjera $2e=10$) i hiperbole.

Rješavanjem sustava

$$x^2-4y^2=20,\quad x^2+y^2=25$$

dobivamo $x^2=24$, $y^2=1$ tj.

$$x=\pm2\sqrt6,\quad y=\pm1.$$

Tražene točke su

$$T_1(2\sqrt6,1),\quad T_2(-2\sqrt6,1),\quad T_3(2\sqrt6,-1),\quad T_4(-2\sqrt6,-1).$$

Drugo rješenje.

Jednadžbu hiperbole dobijemo kao i u prvom rješenju.

Iz jednadžbe hiperbole proizlazi $y^2=\frac14x^2-5$, pa proizvoljna točka $T$ hiperbole ima koordinate

$$T=\left(x,\pm\sqrt{\frac14x^2-5}\right).$$

Točke $T$ koje zadovoljavaju uvjet zadatka možemo odrediti primjenjujući Pitagorin poučak na trokut $F_1TF_2$.

Vrijedi $|TF_1|^2+|TF_2|^2=|F_1F_2|^2$ tj.

$$(x-5)^2+\left(\pm\sqrt{\frac14x^2-5}-0\right)^2 +(x+5)^2+\left(\pm\sqrt{\frac14x^2-5}-0\right)^2=10^2.$$

Sređivanjem dobivamo

$$x^2-10x+25+\frac14x^2-5+x^2+10x+25+\frac14x^2-5=100$$

odnosno $\frac52x^2=60$.

Dakle, $x^2=24$, $y^2=1$.

Tražene točke su

$$T_1(2\sqrt6,1),\quad T_2(-2\sqrt6,1),\quad T_3(2\sqrt6,-1),\quad T_4(-2\sqrt6,-1).$$