7. Zadatak

Uvođenjem supstitucije $z^4=t$ dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$t^2+(1-4i)t-4i=0. \tag{*}$$

Rješavanjem jednadžbe $(*)$ dobivamo

$$\begin{aligned} t_{1,2} &=\frac{-1+4i\pm\sqrt{(1-4i)^2+16i}}{2}\\ &=\frac{-1+4i\pm\sqrt{(1+4i)^2}}{2}\\ &=\frac{-1+4i\pm(1+4i)}{2}, \end{aligned}$$

tj. $t_1=4i$, $t_2=-1$.

Zapišemo li $t_1=4i$ u trigonometrijskom obliku

$$t_1=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)$$

iz $z^4=t_1$ dobivamo

$$z_{1,k}=\sqrt2\left(\cos\frac{(4k+1)\pi}{8}+i\sin\frac{(4k+1)\pi}{8}\right), \quad k=0,1,2,3. \tag{**}$$

Iz $(**)$ slijedi:

za $k=0$,

$$z_{1,0}=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right),$$

za $k=1$,

$$z_{1,1}=\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{8}+i\sin\frac{5\pi}{8}\right),$$

za $k=2$,

$$z_{1,2}=\sqrt2\left(\cos\frac{9\pi}{8}+i\sin\frac{9\pi}{8}\right),$$

za $k=3$,

$$z_{1,3}=\sqrt2\left(\cos\frac{13\pi}{8}+i\sin\frac{13\pi}{8}\right).$$

Iz uvjeta $\operatorname{Re}z>0$ slijedi da su rješenja $z_{1,0}$ i $z_{1,3}$.

Analogno, zapišemo li $t_2=-1$ u trigonometrijskom obliku

$$t_2=\cos\pi+i\sin\pi,$$

iz $z^4=t_2$ dobivamo

$$z_{2,k}=\cos\frac{(2k+1)\pi}{4}+i\sin\frac{(2k+1)\pi}{4}, \quad k=0,1,2,3. \tag{***}$$

Iz $(***)$ slijedi:

za $k=0$,

$$z_{2,0}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4},$$

za $k=1$,

$$z_{2,1}=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4},$$

za $k=2$,

$$z_{2,2}=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4},$$

za $k=3$,

$$z_{2,3}=\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}.$$

Iz uvjeta $\operatorname{Re}z>0$ slijedi da su rješenja $z_{2,0}$ i $z_{2,3}$.

Dakle, tražena rješenja su:

$$z\in\left\{ \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right), \sqrt2\left(\cos\frac{13\pi}{8}+i\sin\frac{13\pi}{8}\right), \cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}, \cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4} \right\}.$$