5. Zadatak

Označimo sa $N$ nožište okomice povučene iz točke $P$ na pravac $AS$.

Uočimo $|AS|^2=|AS_1|^2+|S_1S|^2=\left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2+a^2=\dfrac{6a^2}{4}$ pa vrijedi $|AS|=\dfrac{a\sqrt6}{2}$.

Iz $|AP|^2=|AB|^2+|BP|^2=a^2+\left(\dfrac a2\right)^2=\dfrac{5a^2}{4}$ slijedi $|AP|=\dfrac{a\sqrt5}{2}$.

Slijedi da je trokut $APS$ jednakokračan pa je $|AN|=\dfrac12|AS|=\dfrac{a\sqrt6}{4}$.

Sada iz $|PN|^2=|AP|^2-|AN|^2=\left(\dfrac{a\sqrt5}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a\sqrt6}{4}\right)^2=\dfrac{7a^2}{8}$ dobivamo $|PN|=\dfrac{a\sqrt{14}}4$.

Uočimo da ravnina $APS$ siječe brid $A_1D_1$ u točki $E$ i brid $B_1C_1$ u točki $F$ tako da je dužina $EF$ usporedna s dužinom $AP$ i jednake duljine pa slijedi da je četverokut $APFE$ paralelogram.

Površina paralelograma $APFE$ jednaka je

$$P_{APFE}=|AP|\cdot|SN_1|=2P_{APS}.$$

Vrijedi

$$P_{APS}=\frac12|AS|\cdot|PN| =\frac12\cdot\frac{a\sqrt6}{2}\cdot\frac{a\sqrt{14}}4 =\frac{a^2\sqrt{21}}8$$

pa slijedi

$$P_{APFE}=2\cdot\frac{a^2\sqrt{21}}8=\frac{a^2\sqrt{21}}4.$$