1. Zadatak

Dokaz provodimo matematičkom indukcijom.

Baza indukcije. Provjerimo da tvrdnja zadatka vrijedi za $n=1$.

Za $n=1$ je $2\cos\dfrac\pi4=2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\sqrt2$.

Pretpostavka indukcije. Pretpostavimo da za neki prirodni broj $n$ vrijedi

$$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}}_{n\text{ korijena}} =2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}.$$

Korak indukcije. Treba, koristeći pretpostavku, pokazati da tvrdnja vrijedi i za sljedeći prirodni broj $n+1$ odnosno da je

$$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}}_{n+1\text{ korijena}} =2\cos\frac{\pi}{2^{n+2}}.$$

Neka je

$$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}}_{n+1\text{ korijena}}=u.$$

Kvadriranjem dobivamo

$$2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}}_{n\text{ korijena}}=u^2. \tag{*}$$

Koristeći pretpostavku indukcije iz (*) dobivamo $2+2\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}=u^2$ odnosno

$$2\left(1+\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)=u^2. \tag{**}$$

Primijenimo li na (**) formulu za kosinus polovine argumenta $(1+\cos x=2\cos^2\dfrac x2)$ dobivamo $2\cdot2\cos^2\dfrac{\pi}{2^{n+2}}=u^2$ odakle slijedi $u=2\cos\dfrac{\pi}{2^{n+2}}$, čime je dokazano da tvrdnja vrijedi i za $n+1$.

Po principu matematičke indukcije dana tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve.