3. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz $x^2-xy+y^2=2x-y$ dobivamo

$$x^2-(y+2)x+y^2+y=0. \tag{*}$$

Kako tražimo cjelobrojna rješenja, diskriminanta kvadratne jednadžbe (*) mora biti nenegativna, dakle $(y+2)^2-4(y^2+y)\geq0$ odakle sređivanjem dobivamo $-3y^2+4\geq0$.

Rješenje ove kvadratne nejednadžbe je $y\in\left\langle-\dfrac{2\sqrt3}{3},\dfrac{2\sqrt3}{3}\right\rangle$, a kako tražimo cjelobrojna rješenja, $y$ može poprimiti vrijednosti $-1$, $0$ i $1$.

Uvrštavanjem $y=-1$ u jednadžbu (*) dobivamo jednadžbu $x^2-x=0$, s rješenjima $x_1=0$, $x_2=1$, te su rješenja zadane jednadžbe uređeni parovi $(0,-1)$ i $(1,-1)$.

Uvrštavanjem $y=0$ u jednadžbu (*) dobivamo jednadžbu $x^2-2x=0$ čija su rješenja $x_1=0$ i $x_2=2$, te su rješenja zadane jednadžbe uređeni parovi $(0,0)$ i $(2,0)$.

Konačno, uvrštavanjem $y=1$ u jednadžbu (*) dobivamo jednadžbu $x^2-3x+2=0$ čija su rješenja $x_1=1$ i $x_2=2$, te su rješenja zadane jednadžbe uređeni parovi $(1,1)$ i $(2,1)$.

Drugo rješenje.

Iz $x^2-xy+y^2=2x-y$ redom dobivamo

$$\begin{aligned} 2x^2-2xy+2y^2&=4x-2y,\\ (x^2-2xy+y^2)+(x^2-4x+4)-4+(y^2+2y+1)-1&=0,\\ (x-y)^2+(x-2)^2+(y+1)^2&=5. \end{aligned}$$

Kako se traže $x,y\in\mathbb Z$, brojevi $x-y$, $x-2$ i $y+1$ su cijeli. Zbroj kvadrata tri cijela broja jednak je 5 ako i samo ako su ti kvadrati jednaki 0, 1 i 4 u nekom poretku.

Imamo sljedeće mogućnosti:

$1^\circ$ $x-y=0$, $x-2=\pm1$, $y+1=\pm2$.

Tada je $x=y$, $x\in\{1,3\}$, $y\in\{1,-3\}$ pa je jedino rješenje $(x,y)=(1,1)$.

$2^\circ$ $x-y=0$, $x-2=\pm2$, $y+1=\pm1$.

Tada je $x=y$, $x\in\{0,4\}$, $y\in\{0,-2\}$ pa je jedino rješenje $(x,y)=(0,0)$.

$3^\circ$ $x-2=0$, $y+1=\pm1$, $x-y=\pm2$.

Tada je $x=2$, $y\in\{0,-2\}$ a zbog treće jednadžbe jedino rješenje je $(x,y)=(2,0)$.

$4^\circ$ $x-2=0$, $y+1=\pm2$, $x-y=\pm1$.

Tada je $x=2$, $y\in\{1,-3\}$, a zbog treće jednadžbe jedino rješenje je $(x,y)=(2,1)$.

$5^\circ$ $y+1=0$, $x-2=\pm1$, $x-y=\pm2$.

Tada je $y=-1$, $x\in\{1,3\}$ a zbog treće jednadžbe jedino rješenje je $(x,y)=(1,-1)$.

$6^\circ$ $y+1=0$, $x-2=\pm2$, $x-y=\pm1$.

Tada je $y=-1$, $x\in\{0,4\}$ a zbog treće jednadžbe jedino rješenje je $(x,y)=(0,-1)$.