5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $\angle C_1AB=\alpha$, $\angle C_1AC=\beta$, a visina prizme $v$. Dakle, vrijedi $\alpha+\beta=135^\circ$.

Iz pravokutnog trokuta $C_1AC$ je

$$\cos\beta=\frac{a\sqrt2}{|AC_1|},$$

a iz pravokutnog trokuta $C_1AB$ je

$$\cos\alpha=\frac{a}{|AC_1|}.$$

Dakle vrijedi $\dfrac{a\sqrt2}{\cos\beta}=\dfrac{a}{\cos\alpha}$ odnosno $\cos\beta=\sqrt2\cos\alpha$ pa dobivamo

$$\cos\beta=\sqrt2\cos(135^\circ-\beta) =\sqrt2(\cos135^\circ\cos\beta+\sin135^\circ\sin\beta) =-\cos\beta+\sin\beta.$$

Iz $\cos\beta=-\cos\beta+\sin\beta$ slijedi $\operatorname{tg}\beta=2$.

Iz pravokutnog trokuta $C_1AC$ imamo $\operatorname{tg}\beta=\dfrac{v}{a\sqrt2}$ pa je $v=\operatorname{tg}\beta\cdot a\sqrt2=2a\sqrt2$.

Dakle, obujam prizme je $V=B\cdot v=a^2\cdot2a\sqrt2=2a^3\sqrt2$.

Drugo rješenje.

Neka je $\angle C_1AB=\alpha$, $\angle C_1AC=\beta$, a visina prizme $v$. Dakle, vrijedi $\alpha+\beta=135^\circ$.

Iz pravokutnog trokuta $C_1AC$ imamo

$$\operatorname{tg}\beta=\frac{v}{a\sqrt2},$$

a iz pravokutnog trokuta $C_1AB$ je

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{v^2+a^2}}{a}.$$

Kako je

$$\operatorname{tg}135^\circ=\operatorname{tg}(\alpha+\beta) =\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$$

vrijedi $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta-1$.

Kako je $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sqrt{v^2+a^2}}{a}$ i $\operatorname{tg}\beta=\dfrac{v}{a\sqrt2}$ iz prethodne jednakosti dobivamo

$$\frac{\sqrt{v^2+a^2}}{a}+\frac{v}{a\sqrt2} =\frac{\sqrt{v^2+a^2}}{a}\cdot\frac{v}{a\sqrt2}-1.$$

Iz ove jednakosti slijedi $v=2a\sqrt2$.

Stoga je obujam prizme $V=B\cdot v=a^2\cdot2a\sqrt2=2a^3\sqrt2$.