2. Zadatak

Budući da su $x_i$ prirodni brojevi, svaki $x_i$ mora imati vrijednost barem 1. To znači da treba odrediti na koliko načina zbroj prirodnih brojeva $x_1+x_2+\ldots+x_{100}$ može biti jednak 100, 101, 102 i 103.

Zbroj 100 može se dobiti samo na 1 način, kad su svi pribrojnici $x_i=1$.

Zbroj 101 dobijemo ako je jedan od pribrojnika jednak 2, a ostalih 99 je jednako 1. Taj pribrojnik možemo izabrati na 100 načina.

Zbroj 102 dobijemo u ovim slučajevima:

– jedan pribrojnik jednak je 3, a ostalih 99 je 1 – za to postoji 100 načina

– dva pribrojnika jednaka su 2, a ostalih 98 je 1 – za to postoji $\binom{100}{2}=\dfrac12\cdot100\cdot99$ načina.

Zbroj 103 se može dobiti ako je:

• jedan pribrojnik jednak 4, a ostalih 99 je 1, što je moguće na 100 načina
• jedan pribrojnik jednak 3, jedan pribrojnik je 2, ostalih 98 je 1, što je moguće na $100\cdot99$ načina
• tri pribrojnika jednaka 2, ostalih 97 je 1, što je moguće na $\dfrac{100\cdot99\cdot98}{3\cdot2\cdot1}$ načina.

Dakle, ukupno je

$$1+100+100+\frac{100\cdot99}{2}+100+100\cdot99+\frac{100\cdot99\cdot98}{3\cdot2\cdot1}=176851$$

rješenja dane nejednadžbe.