Prvo rješenje.
Neka je polumjer kružnice k k k r r r O O O A ( − r , − r ) A(-r,-r) A ( − r , − r ) B ( r , − r ) B(r,-r) B ( r , − r ) C ( r , r ) C(r,r) C ( r , r ) D ( − r , r ) D(-r,r) D ( − r , r ) T T T ( x , y ) (x,y) ( x , y )
Točka T T T r r r x 2 + y 2 = r \sqrt{x^2+y^2}=r x 2 + y 2 = r x 2 + y 2 = r 2 x^2+y^2=r^2 x 2 + y 2 = r 2 α \alpha α A T AT A T C T CT C T β \beta β B T BT B T D T DT D T
tg α = k C T − k A T 1 + k C T k A T , tg β = k D T − k B T 1 + k D T k B T . \operatorname{tg}\alpha=\frac{k_{CT}-k_{AT}}{1+k_{CT}k_{AT}}, \qquad \operatorname{tg}\beta=\frac{k_{DT}-k_{BT}}{1+k_{DT}k_{BT}}. tg α = 1 + k C T k A T k C T − k A T , tg β = 1 + k D T k B T k D T − k B T . Slijedi
tg α = k C T − k A T 1 + k C T k A T = r − y r − x − − r − y − r − x 1 + r − y r − x ⋅ − r − y − r − x = ( r − y ) ( r + x ) − ( r + y ) ( r − x ) ( r − x ) ( r + x ) + ( r − y ) ( r + y ) = 2 r x − 2 r y 2 r 2 − x 2 − y 2 . \begin{aligned} \operatorname{tg}\alpha &=\frac{k_{CT}-k_{AT}}{1+k_{CT}k_{AT}}\\ &=\frac{\dfrac{r-y}{r-x}-\dfrac{-r-y}{-r-x}} {1+\dfrac{r-y}{r-x}\cdot\dfrac{-r-y}{-r-x}}\\ &=\frac{(r-y)(r+x)-(r+y)(r-x)}{(r-x)(r+x)+(r-y)(r+y)}\\ &=\frac{2rx-2ry}{2r^2-x^2-y^2}. \end{aligned} tg α = 1 + k C T k A T k C T − k A T = 1 + r − x r − y ⋅ − r − x − r − y r − x r − y − − r − x − r − y = ( r − x ) ( r + x ) + ( r − y ) ( r + y ) ( r − y ) ( r + x ) − ( r + y ) ( r − x ) = 2 r 2 − x 2 − y 2 2 r x − 2 r y . Kako je x 2 + y 2 = r 2 x^2+y^2=r^2 x 2 + y 2 = r 2
tg α = 2 ( x − y ) r . \operatorname{tg}\alpha=\frac{2(x-y)}{r}. tg α = r 2 ( x − y ) . Analogno je
tg β = r − y − r − x − − r − y r − x 1 + r − y − r − x ⋅ − r − y r − x = ( r − y ) ( r − x ) − ( − r − y ) ( − r − x ) ( − r − x ) ( r − x ) + ( r − y ) ( − r − y ) = − 2 r x − 2 r y − r 2 = 2 ( x + y ) r . \begin{aligned} \operatorname{tg}\beta &=\frac{\dfrac{r-y}{-r-x}-\dfrac{-r-y}{r-x}} {1+\dfrac{r-y}{-r-x}\cdot\dfrac{-r-y}{r-x}}\\ &=\frac{(r-y)(r-x)-(-r-y)(-r-x)}{(-r-x)(r-x)+(r-y)(-r-y)}\\ &=\frac{-2rx-2ry}{-r^2}=\frac{2(x+y)}{r}. \end{aligned} tg β = 1 + − r − x r − y ⋅ r − x − r − y − r − x r − y − r − x − r − y = ( − r − x ) ( r − x ) + ( r − y ) ( − r − y ) ( r − y ) ( r − x ) − ( − r − y ) ( − r − x ) = − r 2 − 2 r x − 2 r y = r 2 ( x + y ) . Tada je
tg 2 α + tg 2 β = 4 ( x − y ) 2 r 2 + 4 ( x + y ) 2 r 2 = 4 r 2 ( x 2 − 2 x y + y 2 + x 2 + 2 x y + y 2 ) = 8 r 2 ( x 2 + y 2 ) = 8 r 2 ⋅ r 2 = 8. \begin{aligned} \operatorname{tg}^2\alpha+\operatorname{tg}^2\beta &=\frac{4(x-y)^2}{r^2}+\frac{4(x+y)^2}{r^2}\\ &=\frac4{r^2}(x^2-2xy+y^2+x^2+2xy+y^2)\\ &=\frac8{r^2}(x^2+y^2)=\frac8{r^2}\cdot r^2=8. \end{aligned} tg 2 α + tg 2 β = r 2 4 ( x − y ) 2 + r 2 4 ( x + y ) 2 = r 2 4 ( x 2 − 2 x y + y 2 + x 2 + 2 x y + y 2 ) = r 2 8 ( x 2 + y 2 ) = r 2 8 ⋅ r 2 = 8. Drugo rješenje.
Neka je polumjer kružnice k k k r r r O O O A ( − r , − r ) A(-r,-r) A ( − r , − r ) B ( r , − r ) B(r,-r) B ( r , − r ) C ( r , r ) C(r,r) C ( r , r ) D ( − r , r ) D(-r,r) D ( − r , r ) T T T ( x , y ) (x,y) ( x , y )
T A → = ( − r − x ) i ⃗ + ( − r − y ) j ⃗ , T C → = ( r − x ) i ⃗ + ( r − y ) j ⃗ , T B → = ( r − x ) i ⃗ + ( − r − y ) j ⃗ , T D → = ( − r − x ) i ⃗ + ( r − y ) j ⃗ , O T → = x i ⃗ + y j ⃗ , ∣ O T → ∣ 2 = x 2 + y 2 = r 2 . \begin{aligned} \overrightarrow{TA}&=(-r-x)\vec{i}+(-r-y)\vec{j}, &\overrightarrow{TC}&=(r-x)\vec{i}+(r-y)\vec{j},\\ \overrightarrow{TB}&=(r-x)\vec{i}+(-r-y)\vec{j}, &\overrightarrow{TD}&=(-r-x)\vec{i}+(r-y)\vec{j},\\ \overrightarrow{OT}&=x\vec{i}+y\vec{j}, &|\overrightarrow{OT}|^2&=x^2+y^2=r^2. \end{aligned} T A T B O T = ( − r − x ) i + ( − r − y ) j , = ( r − x ) i + ( − r − y ) j , = x i + y j , T C T D ∣ O T ∣ 2 = ( r − x ) i + ( r − y ) j , = ( − r − x ) i + ( r − y ) j , = x 2 + y 2 = r 2 . Tada je kosinus kuta α \alpha α
cos α = T A → ⋅ T C → ∣ T A → ∣ ⋅ ∣ T C → ∣ = ( r − x ) ( − r − x ) + ( − r − y ) ( r − y ) ( − r − x ) 2 + ( − r − y ) 2 ⋅ ( r − x ) 2 + ( r − y ) 2 = − 2 r 2 + x 2 + y 2 3 r 2 + 2 r ( x + y ) ⋅ 3 r 2 − 2 r ( x + y ) = − r 2 9 r 4 − 4 r 2 ( x + y ) 2 = − r 9 r 2 − 4 ( x + y ) 2 . \begin{aligned} \cos\alpha &=\frac{\overrightarrow{TA}\cdot\overrightarrow{TC}}{|\overrightarrow{TA}|\cdot|\overrightarrow{TC}|}\\ &=\frac{(r-x)(-r-x)+(-r-y)(r-y)} {\sqrt{(-r-x)^2+(-r-y)^2}\cdot\sqrt{(r-x)^2+(r-y)^2}}\\ &=\frac{-2r^2+x^2+y^2} {\sqrt{3r^2+2r(x+y)}\cdot\sqrt{3r^2-2r(x+y)}}\\ &=\frac{-r^2}{\sqrt{9r^4-4r^2(x+y)^2}} =\frac{-r}{\sqrt{9r^2-4(x+y)^2}}. \end{aligned} cos α = ∣ T A ∣ ⋅ ∣ T C ∣ T A ⋅ T C = ( − r − x ) 2 + ( − r − y ) 2 ⋅ ( r − x ) 2 + ( r − y ) 2 ( r − x ) ( − r − x ) + ( − r − y ) ( r − y ) = 3 r 2 + 2 r ( x + y ) ⋅ 3 r 2 − 2 r ( x + y ) − 2 r 2 + x 2 + y 2 = 9 r 4 − 4 r 2 ( x + y ) 2 − r 2 = 9 r 2 − 4 ( x + y ) 2 − r . cos β = T B → ⋅ T D → ∣ T B → ∣ ⋅ ∣ T D → ∣ = ( − r − x ) ( r − x ) + ( r − y ) ( r − y ) ( r − x ) 2 + ( − r − y ) 2 ⋅ ( − r − x ) 2 + ( r − y ) 2 = − 2 r 2 + x 2 + y 2 3 r 2 − 2 r ( x − y ) ⋅ 3 r 2 + 2 r ( x − y ) = − r 2 9 r 4 − 4 r 2 ( x − y ) 2 = − r 9 r 2 − 4 ( x − y ) 2 . \begin{aligned} \cos\beta &=\frac{\overrightarrow{TB}\cdot\overrightarrow{TD}}{|\overrightarrow{TB}|\cdot|\overrightarrow{TD}|}\\ &=\frac{(-r-x)(r-x)+(r-y)(r-y)} {\sqrt{(r-x)^2+(-r-y)^2}\cdot\sqrt{(-r-x)^2+(r-y)^2}}\\ &=\frac{-2r^2+x^2+y^2} {\sqrt{3r^2-2r(x-y)}\cdot\sqrt{3r^2+2r(x-y)}}\\ &=\frac{-r^2}{\sqrt{9r^4-4r^2(x-y)^2}} =\frac{-r}{\sqrt{9r^2-4(x-y)^2}}. \end{aligned} cos β = ∣ T B ∣ ⋅ ∣ T D ∣ T B ⋅ T D = ( r − x ) 2 + ( − r − y ) 2 ⋅ ( − r − x ) 2 + ( r − y ) 2 ( − r − x ) ( r − x ) + ( r − y ) ( r − y ) = 3 r 2 − 2 r ( x − y ) ⋅ 3 r 2 + 2 r ( x − y ) − 2 r 2 + x 2 + y 2 = 9 r 4 − 4 r 2 ( x − y ) 2 − r 2 = 9 r 2 − 4 ( x − y ) 2 − r . Slijedi
tg 2 α = 1 cos 2 α − 1 = 9 r 2 − 4 ( x + y ) 2 r 2 − 1 = 4 r 2 − 8 x y r 2 , \operatorname{tg}^2\alpha =\frac1{\cos^2\alpha}-1 =\frac{9r^2-4(x+y)^2}{r^2}-1 =\frac{4r^2-8xy}{r^2}, tg 2 α = cos 2 α 1 − 1 = r 2 9 r 2 − 4 ( x + y ) 2 − 1 = r 2 4 r 2 − 8 x y , tg 2 β = 1 cos 2 β − 1 = 9 r 2 − 4 ( x − y ) 2 r 2 − 1 = 4 r 2 + 8 x y r 2 , \operatorname{tg}^2\beta =\frac1{\cos^2\beta}-1 =\frac{9r^2-4(x-y)^2}{r^2}-1 =\frac{4r^2+8xy}{r^2}, tg 2 β = cos 2 β 1 − 1 = r 2 9 r 2 − 4 ( x − y ) 2 − 1 = r 2 4 r 2 + 8 x y , te konačno
tg 2 α + tg 2 β = 4 r 2 − 8 x y r 2 + 4 r 2 + 8 x y r 2 = 8. \operatorname{tg}^2\alpha+\operatorname{tg}^2\beta =\frac{4r^2-8xy}{r^2}+\frac{4r^2+8xy}{r^2}=8. tg 2 α + tg 2 β = r 2 4 r 2 − 8 x y + r 2 4 r 2 + 8 x y = 8. 