1. Zadatak

Prvo rješenje.

Ova će jednadžba imati realna rješenja ako je diskriminanta (kvadratne jednadžbe po $x$) veća ili jednaka 0, odnosno

$$4\sin^2(xy)-4\geq0.$$

S obzirom da je $\sin^2(xy)\leq1$, gornja je nejednakost moguća samo ako je $\sin^2(xy)=1$.

Tada je $\sin(xy)=\pm1$, odnosno $xy=\pm\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Iz $\sin(xy)=1$ i početne jednadžbe slijedi $x^2+2x+1=0$, pa je $x=-1$, a $y=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Analogno, za $\sin(xy)=-1$ dobivamo $x=1$, a $y=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Dakle, rješenja $(x,y)$ dane jednadžbe su $(1,-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi)$ i $(-1,-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi)$, $k\in\mathbb{Z}$.

Drugo rješenje.

Iz dane jednadžbe slijedi $\sin(xy)=\dfrac{-1-x^2}{2x}$, pa zbog $|\sin(xy)|\leq1$ vrijedi $\left|\dfrac{-1-x^2}{2x}\right|\leq1$, te dalje redom

$$|1+x^2|\leq|2x| \qquad 1-|2x|+x^2\leq0 \qquad (1-|x|)^2\leq0.$$

Posljednja nejednakost vrijedi samo ako je $|x|=1$ tj. $x=\pm1$.

Za $x=1$ je $\sin y=-1$ pa je $y=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$,

a za $x=-1$ iz $\sin(-y)=1$ slijedi $y=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Treće rješenje.

Dana jednadžba je redom ekvivalentna s

$$x^2+2x\sin(xy)+\sin^2(xy)=\sin^2(xy)-1$$ $$(x+\sin(xy))^2=-\cos^2(xy)$$

Ovo je moguće samo ako je $x+\sin(xy)=\cos(xy)=0$.

Iz $\cos(xy)=0$ slijedi $xy=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ ili $xy=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$.

U prvom slučaju je $\sin(xy)=1$, $x=-1$, $y=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$,

a u drugom $\sin(xy)=-1$, $x=1$, $y=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.