1. Zadatak

Prvo rješenje. Stavimo $u=\dfrac zw=x+yi$. Tada je $|u|=1$, $|u-1|=1$.

Tada je $x^2+y^2=1$, $(x-1)^2+y^2=1$.

Oduzimanjem ovih jednakosti dobivamo $x=\dfrac12$, $y=\pm\dfrac{\sqrt3}2$, pa je $u=\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt3}2i$.

Sada je

$$\begin{aligned}\left(\frac zw\right)^{99}=u^{99}&=\left[\left(\frac12\pm\frac{\sqrt3}2i\right)^3\right]^{33}\\&=\left(\frac18\pm\frac{3\sqrt3}8i-\frac98\mp\frac{3\sqrt3}8i\right)^{33}=(-1)^{33}=-1.\end{aligned}$$

Drugo rješenje. Dijeljenjem dane jednakosti $|z|=|w|=|z-w|$ s $|w|$ dobivamo

$$\left|\frac zw\right|=1=\left|\frac zw-1\right|.$$

Označimo li $u=\dfrac zw$ imamo $|u|=1$, $|u-1|=1$.

Tada je $u\cdot\overline u=1$ i $(u-1)(\overline u-1)=1$.

Odavde je $1=(u-1)\left(\dfrac1u-1\right)=-\dfrac{(u-1)^2}u$, a nakon sređivanja $u^2=u-1$.

Množenjem ove jednakosti s $u$ imamo $u^3=u^2-u=-1$.

Sada imamo $u^{99}=(u^3)^{33}=(-1)^{33}=-1$.

Dakle, $\left(\dfrac zw\right)^{99}=-1$.