5. Zadatak

Očito $x=0$ zadovoljava jednadžbu.

Za $x>0$ je $0\leq[x]\leq x$, $0\leq\{x\}<1$, pa je $[x]\{x\}<x<2009x$. U ovom slučaju nema rješenja.

Za $x<0$ je $x=-p+\alpha$, gdje je $p=-[x]$ prirodan broj, a $\alpha=\{x\}$. Jednadžba sada glasi

$$(-p)\cdot\alpha=(-p+\alpha)\cdot2009,$$

čije rješenje je $\alpha=\dfrac{2009p}{2009+p}$.

Kako je $\alpha<1$, imamo $\dfrac{2009p}{2009+p}<1$ tj. $p<\dfrac{2009}{2008}$. Zato je $p=1$, $\alpha=\dfrac{2009}{2010}$ odakle je

$$x=-\frac1{2010}.$$

Dakle, jednadžba ima dva rješenja: $x=0$, $x=-\dfrac1{2010}$.