4. Zadatak

Neka je $S$ središte kružnice, polumjera $x$, koja dodiruje tri polukružnice i neka je $d$ njezina udaljenost od pravca $AC$.

Neka su $S_1$, $S_2$, $S_3$, tim redom, polovišta dužina $AB$, $BC$, $AC$.

Sa slike dobivamo:

$$\begin{aligned}|S_1S_3|&=|AS_3|-|AS_1|=(R+r)-R=r,\\|S_2S_3|&=|CS_3|-|CS_2|=(R+r)-r=R,\\|S_1S|&=R+x,\\|S_2S|&=r+x,\\|S_3S|&=|S_3M|-|SM|=R+r-x.\end{aligned}$$

Površine trokuta $S_1SS_3$ i $S_1SS_2$ izrazit ćemo pomoću Heronove formule i pomoću osnovice i visine na nju:

$$\sqrt{(R+r)R(r-x)x}=\frac12rd,$$ $$\sqrt{(R+r+x)Rrx}=\frac12(R+r)d.$$

Kvadriranjem ovih jednadžbi i dijeljenjem jedne s drugom, nakon sređivanja, dobiva se

$$x=\frac{Rr(R+r)}{R^2+Rr+r^2}.$$