Apscisa tjemena kvadratne funkcije jest
t=−2ab
pa je b=−2at.
Uvrstimo koordinate točaka (t,t) i (−t,−t) u jednadžbu grafa. Tada je
t=at2+bt+c,
odnosno
t=−at2+c
(zbog b=−2at) i
−t=at2−bt+c,
odnosno
t=−3at2−c.
Slijedi
4at2=−2t,a=−2t1.
Odatle dobivamo
b=−2at=1, a c=t+at2=2t.
Nakon što dobivene izraze za a, b i c uvrstimo u jednakost a2+b2+c2=1633 dobivamo jednadžbu
4t21+1+4t2=1633,
koja se nakon sređivanja svodi na bikvadratnu jednadžbu
4t4−17t2+4=0.
Tada je
t2=4,t2=41,
odnosno
t∈{−2,−21,21,2}.
Napomena:
Učenik koeficijente a, b i c može dobiti i na sljedeće načine:
1. način:
Apscisa tjemena kvadratne funkcije jest
t=−2ab
pa je b=−2at.
Ordinata tjemena kvadratne funkcije jest
t=4a4ac−b2,
odakle uz b=−2at dobivamo
c=at2+t.
Uvrstimo li koordinate točke (−t,−t) u jednadžbu grafa dobivamo
−t=at2−bt+c,
odakle uz b=−2at i c=at2+t slijedi
−t=at2+2at2+at2+t,
odnosno
a=−2t1.
b=−2at=1,c=t+at2=2t.
2. način:
Funkciju f možemo zapisati u obliku f(x)=a(x−x0)2+y0 pri čemu je (x0,y0) tjeme grafa funkcije. Tada je f(x)=a(x−t)2+t.
Uvrstimo li koordinate točke (−t,−t) u jednadžbu grafa dobivamo
−t=4at2+t,
odnosno
a=−2t1.
Stoga je
f(x)=−2t1x2+x+2t,
pa je b=1, c=2t.
3. način:
Budući da je točka (t,t) tjeme grafa kvadratne funkcije, a točka (−t,−t) pripada grafu te funkcije, tada zbog simetrije točka (3t,−t) također pripada grafu te funkcije.
Uvrstimo li koordinate tih točaka u f(x)=ax2+bx+c dobivamo sustav
at2+bt+cat2−bt+c9at2+3bt+c=t=−t=−t.
Pomnožimo li prvu jednadžbu s −1 i zbrojimo li s drugom dobivamo 2bt=2t⇒b=1 (t=0).
Uvrstimo li b=1 u drugu i treću jednadžbu slijedi
at2+c9at2+c=0=−4t.
Odavde dobivamo: a=−2t1 i c=2t.
