6. Zadatak

Dva su uvjeta na rješenje:

$$x^2-100\geq 0 \qquad\text{i}\qquad a+x\geq 0.$$

Kvadriranjem zadane jednadžbe dobivamo

$$x^2-100=a^2+2ax+x^2, \qquad \text{odnosno } x=\frac{-a^2-100}{2a}, \quad a\neq 0.$$

Dobiveni izraz za $x$ mora zadovoljavati postavljene uvjete pa je

$$\left(\frac{-a^2-100}{2a}\right)^2-100\geq 0 \qquad\text{i}\qquad a+\frac{-a^2-100}{2a}\geq 0.$$

Nakon sređivanja, iz prvog uvjeta dobijemo

$$\frac{(a^2-100)^2}{4a^2}\geq 0,$$

što vrijedi za svaki realan broj $a\neq 0$.

Iz drugog uvjeta slijedi

$$\frac{a^2-100}{2a}\geq 0,$$

odnosno

$$a\in[-10,0\rangle\cup[10,+\infty\rangle.$$

Konačno, presjek skupova rješenja ovih dvaju uvjeta je skup svih realnih brojeva $a$ za koje dana jednadžba ima rješenje, odnosno skup

$$a\in[-10,0\rangle\cup[10,+\infty\rangle.$$

Napomena:

Učenik je mogao riješiti jednadžbu i bez postavljanja uvjeta pa provjerom doći do jednakosti

$$\sqrt{\left(\frac{a^2-100}{2a}\right)^2}=\frac{a^2-100}{2a},$$

odnosno

$$\left|\frac{a^2-100}{2a}\right|=\frac{a^2-100}{2a},$$

što će biti točno samo ako je

$$\frac{a^2-100}{2a}\geq0,$$

odnosno $a\in[-10,0\rangle\cup[10,+\infty\rangle$.