3. Zadatak

Neka su $A$, $B$, $C$ vrhovi danog trokuta, a $N$ nožište visine iz vrha pravog kuta $C$.

Uz oznake kao na slici, iz $v_c:t_c=12:37$ slijedi $v_c=12k$ i $t_c=37k$, gdje je $k>0$ realan broj.

Kako je u pravokutnom trokutu središte opisane kružnice u polovištu hipotenuze, vrijedi

$$\frac{c}{2}=t_c=37k,$$

odakle dobivamo da je $c=74k$.

Iz pravokutnog trokuta $CNE$ primjenom Pitagorina poučka dobivamo

$$x^2=t_c^2-v_c^2=(37k)^2-(12k)^2=(37k-12k)(37k+12k)=25k\cdot49k,$$

odakle slijedi da je $x=35k$.

Kako je $\triangle ANC\sim\triangle CNB$, dobivamo:

$$\frac{a}{v_c}=\frac{b}{\frac{c}{2}-x}.$$ $$\frac{a}{b} =\frac{v_c}{\frac{c}{2}-x} =\frac{12k}{37k-35k} =6 \qquad\text{ili}\qquad \frac{b}{a}=\frac{1}{6}.$$

Napomena:

Umjesto sličnosti učenici u zadnja dva koraka rješenja mogu koristiti i tangens kuta pri vrhu $A$ ili $B$.

Isto tako, umjesto sličnosti, učenici mogu i primjenom Pitagorina poučka na trokut $ANC$ dobiti

$$\begin{aligned} b &=\sqrt{v_c^2+\left(\frac{c}{2}-x\right)^2}\\ &=\sqrt{(12k)^2+(37k-35k)^2}\\ &=\sqrt{148k^2}=2k\sqrt{37} \end{aligned}$$

te analogno primjenom Pitagorina poučka na trokut $CNB$

$$\begin{aligned} a &=\sqrt{v_c^2+\left(\frac{c}{2}+x\right)^2}\\ &=\sqrt{(12k)^2+(37k+35k)^2}\\ &=\sqrt{144k^2+5184k^2}\\ &=\sqrt{5328k^2}=12k\sqrt{37}. \end{aligned}$$