4. Zadatak

Rastavimo li nazivnike lijeve strane (razlika kubova!) dobivamo

$$\frac a{(b-1)(b^2+b+1)}-\frac b{(a-1)(a^2+a+1)}\tag{1}$$

Iz $a+b=1$ imamo $b-1=-a$, $a-1=-b$,

pa izraz (1) postaje

$$\begin{aligned}\frac{-1}{b^2+b+1}+\frac1{a^2+a+1}&=\frac{b^2-a^2+b-a}{a^2b^2+ab^2+a^2b+a^2+ab+b^2+a+b+1}\end{aligned}$$

Sada dobivamo, uz $a+b=1$,

$$\begin{aligned}\frac{(b-a)(b+a)+b-a}{a^2b^2+ab(a+b)+a^2+ab+b^2+a+b+1}&=\frac{2(b-a)}{a^2b^2+a^2+2ab+b^2+1+1}\\&=\frac{2(b-a)}{a^2b^2+(a+b)^2+2}=\frac{2(b-a)}{a^2b^2+3}.\end{aligned}$$