7. Zadatak

Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo

$$a^4=a^2+1,\qquad a^4-a^2-1=0.$$

Pozitivno rješenje ove bikvadratne jednadžbe je

$$a^2=\frac{1+\sqrt5}{2}, \qquad a=\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}.$$

Ako je $\alpha$ kut nasuprot katete duljine $1$, tada je $\tg\alpha=1/a$ i $\tg\alpha=h/v$ pa je $h=v/a$.

U pravokutnom trokutu je duljina visine na hipotenuzu

$$v=\frac{1\cdot a}{a^2}=\frac1a.$$

Tada je $h=v/a=1/a^2$, pa je

$$V=\frac13B\cdot h=\frac13\cdot\frac a2\cdot\frac1{a^2}=\frac16\cdot\frac1a.$$

Konačno,

$$V=\frac16\sqrt{\frac2{1+\sqrt5}}\cdot\frac{1-\sqrt5}{1-\sqrt5} =\frac16\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}.$$